Pregunta sobre el juego de probabilidades

Question

Soy nuevo en el campo de la probabilidad. Estoy tratando de resolver el siguiente problema.

En un juego, la probabilidad de ganar la partida es $w$ y perder el juego es $l$ y la probabilidad de que el juego continúe es $(1 - w - l)$ . ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego en $m$ ¿pasos?

Ya sé la respuesta. Es p $(m) = w + (1 - w - l) * p(m - 1).$ ¿Puede alguien explicar por qué es así?

Answer 1

Dividamos el evento "ganar en un máximo de $m$ pasos" de la siguiente manera: o bien ganar ahora (suponiendo que no hayamos jugado $m$ turnos todavía), o continuar la partida, y ganar como máximo en $m-1$ pasos, a partir del siguiente paso.

Ahora bien, estos dos últimos acontecimientos son disjuntos, ya que ganar ahora excluye la continuación del juego, y viceversa. Por lo tanto:

$$\Pr(\text{winning in at most $ m $ steps})=\Pr(\text{winning now})+\Pr(\text{continuing the game, and winning in at most $ m-1 $ steps})$$

Sabemos que $\Pr(\text{winning now})=w$ Queda por analizar la segunda parte. La probabilidad de continuar el juego es $1-w-l$ . La probabilidad de ganar el juego en un máximo de $m-1$ pasos, dado que el juego continúe, es $p(m-1)$ ya que $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$ , obtenemos que $$\Pr(\text{continuing the game, and winning in at most $ m-1 $ steps})=(1-w-l)\cdot p(m-1)$$ , lo que concluye el resultado.

Es importante destacar que hay que añadir $p(1)=w$ para que esta definición recursiva sea sólida.