Anualidad variable geométricamente y pagadera con menor frecuencia que los intereses convertibles

Question

Encuentre el valor acumulado al final de diez años de una renta vitalicia en que los pagos se realizan al principio de cada semestre durante cinco años. El primer pago es de 2.000, y cada uno de los otros pagos es 98% del pago anterior. Los intereses se abonan al 10% convertible trimestralmente.

respuesta correcta: 40,042

Mi trabajo: Encontré una tasa semestral equivalente $i^{(2)}$ que nos da el tipo de interés por semestre $i=0.0506$ y utilizando esto los primeros cinco años es sólo una anualidad decreciente geométricamente con período de conversión = período de pago, que podemos utilizar la ecuación $2000(1+i)\frac{1-\left(\frac{1-k}{1+i}\right)^{10}}{i+k}$ con $n=10$ períodos de conversión (utilizando $i$ ) y $k=0.02$ = relación común de progresión geométrica. Es igual al valor acumulado en $t=5$ que es de 14916,70. A continuación, simplemente podemos componer esto hasta el año 10, lo cual es sencillo. Obtengo la respuesta 24.442,75, que es incorrecta. ¿Qué estoy haciendo mal?

Edición: Parece que he calculado el PV de la progresión geométrica en t=0, en lugar del valor acumulado en t=5 como pensaba que estaba haciendo

Answer 1

El flujo de caja es así:

$$AV = 2000\left(\left(1+\frac{i^{(4)}}{4}\right)^{\!40} \!\!\!\! + (0.98)\left(1+\frac{i^{(4)}}{4}\right)^{\!38} \!\!\!\! + (0.98)^2 \left(1+\frac{i^{(4)}}{4}\right)^{\!36} \!\!\!\!+ \cdots + (0.98)^9 \left(1 + \frac{i^{(4)}}{4}\right)^{\!22}\right)$$ donde $i^{(4)} = 0.10$ es el tipo de interés nominal compuesto trimestralmente.

Explicación: el tipo de interés efectivo por período trimestral es simplemente $i^{(4)}/4$ . Para tener en cuenta los pagos que se producen cada dos periodos de capitalización, simplemente omitimos esos periodos. Como los pagos se realizan al principio de cada semestre, el primer pago de $2000$ ha tenido el completo $10$ años, o $40$ trimestres, para acumular. Para asegurar que tenemos $5$ años de pagos semestrales, o un total de $10$ pagos, exigimos que el último pago se reduzca en $(0.98)^{10 - 1}$ y que $40 - 2(9) = 22$ es el número de períodos en que el último pago acumula intereses.

Una vez que veas cómo está todo junto, el significado debería ser claramente obvio. Por eso recomiendo escribir el flujo de caja. La notación actuarial viene a continuación. Observamos que podemos escribir lo anterior como

$$\begin{align} AV &= 2000(1+j)^{22} \left( (1 + j)^{18} + (0.98) (1+j)^{16} + \cdots + (0.98)^9 (1+j)^0 \right) \\ &= 2000(0.98)^9 (1+j)^{22} \left( \left(\frac{(1+j)^2}{0.98}\right)^{\!9} + \left(\frac{(1+j)^2}{0.98}\right)^{\!8} + \cdots + 1 \right) \\ &= 2000(0.98)^9 (1+j)^{22} \require{enclose}s_{\enclose{actuarial}{10} j'} \\ &= 2000(0.98)^9 (1+j)^{22} \frac{(1+j')^{10} - 1}{j'}, \end{align}$$ donde $j = i^{(4)}/4 = 0.025$ es el tipo de interés trimestral efectivo, y $$j' = \frac{(1+j)^2}{0.98} - 1 = \frac{113}{1568} \approx 0.072066$$ es el tipo efectivo semestral equivalente después de ajustar la disminución geométrica de los pagos. De ello se desprende que $$AV \approx 40052.28.$$ La respuesta reclamada $40042$ es inexacta.

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Alternativamente, utilizando su enfoque y convirtiendo la tasa a una frecuencia semestral, tenemos $j = i^{(2)}/2 = 0.050625$ como has dicho, y el flujo de caja se escribe entonces $$AV = 2000 \left((1 + j)^{20} + (0.98)(1 + j)^{19} + \cdots + (0.98)^9(1 + j)^{11}\right) = 2000 (0.98)^9 (1 + j)^{11} \require{enclose}s_{\enclose{actuarial}{10} j'}$$ donde ahora $$j' = \frac{1+j}{0.98} - 1.$$ Cualquiera de las dos formas da el mismo resultado.