$\epsilon$ - $\delta$ definición del límite aplicado a funciones no lineales (enseñanza)

Question

Cuando enseño el $\epsilon$ - $\delta$ definición del límite, suelo empezar con una función lineal y una tabla de valores para mostrar intuitivamente la idea de dónde están las "conjeturas" para $\delta$ en términos de $\epsilon$ está tomada de.

Por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x \to 3} (2x-4) = 2$ Utilizo una tabla de valores para $x = 3, 3.01, 3.1 ...$ con su correspondiente $f(x) = 2, 2.02, 2.2, ...$ .

Aquí vemos que si la distancia de $x$ es 0,01 (de 3 a 3,01), la correspondiente "distancia" de $f(x)$ es 0,02. Y así $\delta = \epsilon /2$ que encaja muy bien en la prueba.

Así que mi pregunta es, cuando pasamos a las funciones cuadráticas, $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 = 4.$ ¿Cómo puedo utilizar la misma ilustración para explicar intuitivamente mi elección de épsilon?

Answer 1

Usted no elige el $\epsilon>0$ . Este nivel de tolerancia es prescrito por su cliente, y tiene que mostrar un $\delta>0$ que garantiza un error de valor $<\epsilon$ . Tal $\delta$ no está determinada de forma única; sólo tiene que funcionar.

Para la función $g(x):=x^2$ tenemos que demostrar que $g(x)$ está cerca $4$ cuando $x$ está cerca $2$ . Ahora $$g(x)-4=x^2-4=(x+2)(x-2)$$ y por lo tanto $$|g(x)-4|= |x+2|\ |x-2|\leq 5 |x-2|\qquad(1\leq x\leq 3)\ .\tag{1}$$ Tenga en cuenta que hemos restringido el $x$ estamos viendo a una distancia de $1$ desde el punto límite dado $2$ . Esta medida se adoptó para obtener un factor de "peor caso" $5$ . La relación $(1)$ dice: Si $|x-2|\leq1$ entonces el error de salida $|g(x)-4|$ es como máximo cinco veces el error de entrada $|x-2|$ .

Dada una tolerancia $\epsilon>0$ por lo tanto, tendemos a poner $\delta:={\epsilon\over 5}$ . Para un $\epsilon\ll1$ esto estaría bien. Pero si el $\epsilon$ es $6$ (un dato muy improbable, pero en fin) entonces estamos en un error. Por lo tanto, ponemos $$\delta:=\min\left\{{\epsilon\over5},1\right\}>0\ .$$