¿El grupo de Lie conectado es el segundo contable?

Question

Sé que esto es cierto por varias fuentes, lamentablemente ninguna de ellas da la prueba completa. Ya tengo un comienzo:

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie conectado. Elija $K$ para ser cualquier vecindad compacta de la identidad $e$ . Entonces el interior $\text{int}(K)$ es una vecindad abierta de $e$ . Ahora toma $V = \text{int}(K) \cap \text{int}(K)^{-1}$ entonces $V$ sigue siendo un barrio abierto de $e$ y $V \subset K$ .

Considere $H = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}V^n$ . Se trata de un subgrupo abierto de $G$ . Pero su complemento $H^C = \bigcup_{g \neq e \in G} gH$ también está abierto. Porque $G$ está conectado y $H$ es no vacía, $H = G$ . En particular,

$$ G = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}V^n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}K^n$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. Imagino que se podría tomar $K$ tal que es homeomorfo a un disco cerrado en $\mathbb{R}^n$ entonces este disco es segundo contable y por lo tanto $K$ es el segundo contable. Pero incluso así no sé cómo se traduce esto en que todo el espacio sea contable en segundo lugar.

Intuitivamente asumiría que tomando uno puede construir un subconjunto denso contable de $G$ y trasladar lo contable alrededor de la identidad a cada elemento de este subconjunto... pero no creo que sea suficiente?

Answer 1

La prueba se desprende del siguiente lema.

Lema: El componente de identidad $G_e$ de un grupo de Lie es segundo contable.

Prueba: Dado que el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ de $G$ es segundo contable, entonces también lo es su $k$ -Imagen plegada $\exp(\mathfrak{g})\cdots \exp(\mathfrak{g})$ en $G$ para cada $k ∈ \mathbb{N}$ . Ahora $G_e$ es la unión contable sobre $k ∈ \mathbb{N}$ de estos conjuntos.

Del lema se deduce que un grupo de Lie es contable en segundo lugar si y sólo si tiene a lo sumo un número contable de componentes.

Answer 2

No creo que sea necesario acudir al álgebra de la mentira para demostrarlo.

Ya has mostrado $G=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K^n$ donde cada $K^n$ es compacto (ya que $K$ es compacto y $K^n$ es la imagen de $K\times\cdots\times K$ bajo el mapa continuo $G^n\to G:\left(g_1,\dots,g_n\right)\mapsto g_1\cdots g_n$ ). Ahora, toma algún barrio de identidad abierta $U$ en $G$ que es segundo contable (que existe ya que $G$ es localmente difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ ). Demostramos que hay $\left\{g_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $G=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}g_n U$ . Esto es suficiente ya que cada $g_nU$ es segundo contable (ya que es homeomorfo a $U$ ya que $x\mapsto g_nx$ es un mapa continuo con una inversa continua $x\mapsto g_n^{-1}x$ ) y la unión es contable (y por tanto la unión de las bases de $g_nU$ es una base contable de $G$ ).

Por cada $n\in\mathbb{N}$ el conjunto compacto $K^n$ está cubierto por $\left\{kU\right\}_{k\in K^n}$ por lo que tenemos una subcubierta finita $$K^n=\bigcup_{i=1}^{m_n}k_iU.$$ Pero $G=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K^n$ Así que $$G=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{i=1}^{m_n}k_iU,$$ que es una unión contable.

Esta demostración procede esencialmente de la obra de Hilgert y Neeb "Structure and Geometry of Lie Groups".