Demostrando que $-\ln(x-\sqrt{x^2-1})=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

Question

Mostrar $-\ln(x-\sqrt{x^2-1})=ln(x+\sqrt{x^2-1})$

¿Puede alguien verificar que mi solución es correcta (o incorrecta) y también mostrarme métodos alternativos para hacerlo? ¡Gracias!

Dejemos que $r=-\ln(x-\sqrt{x^2-1})$ y $s=ln(x+\sqrt{x^2-1})$

$\rightarrow e^r=(x-\sqrt{x^2-1})^{-1}$ y $e^s = x+\sqrt{x^2-1}$

$\rightarrow \frac{e^s}{e^r} = (x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1}) = x^2 - (x^2 - 1) = 1$

Así, $e^r=e^s$ y así $r=s$

Answer 1

Su prueba me parece bien. También puedes hacer esto: $\ln(x-\sqrt{x^2-1})+\ln(x+\sqrt{x^2-1})=\ln\left((x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})\right)=\ln 1 =0$

Answer 2

HINT

Su solución parece buena.

También puede intentar aplicar la identidad $\alpha\ln|a| = \ln|a|^{\alpha}$ y luego multiplicar y dividir por el conjugado del argumento.

Answer 3

Se ve bien.

Pero ten en cuenta que en realidad se trata de observar que $x \pm \sqrt{x^2-1}$ son recíprocos, ya que $$\frac{1}{x + \sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2-1}}\cdot\frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}}$$ $$=\frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x^2-(x^2-1)}$$ $$= \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{1}$$ $$=x - \sqrt{x^2-1}$$

Esto significa que sus logaritmos son opuestos, ya que $\log u^{-1} = -\log u$ .