Una duda sobre la topología débil, $(E,\, \sigma(E,\, E'))'$ es Banach para todo $E$ ¿espacio normado?

Question

Tenemos un resultado que dice que el espacio formado por los funcionales continuos lineales en $E$ con la topología débil coincide con el dual topológico de $E$ Es decir, $E' = (E,\, \sigma(E,\, E'))'$ para todo espacio normado $E$ pero el dual de un espacio normado es siempre Banach, entonces de igualdad $(E,\, \sigma(E,\, E'))'$ es Banach. Si lo he entendido mal (corregidme, por favor), de lo contrario, ¿cómo podría demostrar que $(E,\, \sigma(E,\, E'))'$ es Banach sin conocer la igualdad $E' = (E,\, \sigma(E,\, E'))'$ ? Esto es muy confuso para mí, es posible inducir una norma en $(E,\, \sigma(E,\, E'))'$ ?

Answer 1

Porque $(E,\sigma(E,E'))'=E'$ , evidentemente puedes poner una norma. Pero dicha norma no tiene nada que ver con la estructura topológica de $(E,\sigma(E,E'))$ que no es un espacio normado.