Comprender la convergencia en los espacios normados y el lenguaje utilizado al hablar de normas.

Question

Tenemos la siguiente definición sobre la convergencia en un espacio normado:

"Dejemos $(x_n)_{n=1}^\infty$ sea una secuencia en un espacio normado $(X,\|\cdot\|)$ . Decimos que $x_n\to x$ en $X$ si,

$$d(x_n,x)\equiv \|x-x_n\|\to 0$$

como $n\to \infty.$ "

Mis preguntas:

1. ¿Cómo es que leemos esta declaración y, en consecuencia, la entendemos? En particular, ¿qué significa hablar de la norma (magnitud o longitud) de la diferencia de dos secuencias? Tomemos el caso de que $x$ es una secuencia no constante $x_m$ .

2. Entiendo que una métrica es inducida por una norma, pero ¿hasta qué punto hay que distinguir entre una norma y una métrica en ¿el contexto de un espacio normado? Un espacio normado es automáticamente un espacio métrico, y hablamos de una métrica $d$ siendo inducido por la norma $d(x,y)=\|x-y\|$ . ¿Debo pensar en ellos? en en el contexto de un espacio normado, como si fueran exactamente lo mismo, o hay que tener más cuidado y tratar de distinguirlos todavía?

Answer 1

1. No estoy seguro de entender esta pregunta. La distancia se define como la norma de la diferencia, y la definición es entonces la misma que en los espacios métricos. Se puede obtener la intuición geométrica del espacio euclidiano, donde $\| x - y \|$ es la longitud del segmento de línea que une $x$ y $y$ . Si sustituye $x$ con otra secuencia $y_m$ la situación es la misma para cada uno de los fijos $m$ . Esto surge, por ejemplo, al hablar de las secuencias de Cauchy en los espacios métricos.
2. En realidad no son exactamente lo mismo, pero la analogía se acerca. $d(x,y)=\| x - y \|$ da la métrica de la norma; $\| x \| = \| x - 0 \| = d(x,0)$ da la norma de la métrica.