En el número de enteros con un número par de factores primeros distintos

Question

Deje $A(n)$ el número de enteros de 2 a $n$ con un número de diferentes factores primos, y deje $B(n)$ el número de enteros de 2 a $n$ con un número impar de distintos factores primos. (Por "distintos" me refiero a, por ejemplo, que el $2^{100}$ tiene uno distinto primer factor.)

Un pequeño programa en python muestra que como $n$ rangos de 2 a 1000000, sólo hay 9437 valores de $n$ que $A(n)>B(n)$, mientras que hay 990450 valores de $n$ que $A(n)<B(n)$. Hay 112 valores de $n$ que $A(n)=B(n)$, el mayor de los cuales es 12099.

Hay algunos precisa teorema o una conjetura o incluso plausible heurística para el efecto de que $A(n)<B(n)$ "la mayoría del tiempo", o quizás "con el tiempo"? O es sólo una ilusión que se disuelve como $n$ crece más?

Answer 1

La Generalizada Primer Número Teorema da una decente estimación de la cantidad de números con k factores menor que n. Usted puede utilizar esto para ver que el número de números con 2,4,6,... factores primos no deben en gran diferir de la cantidad de números con 1,3,5,... factores.

La generalización de la PNT estados:

$$\pi_k(x) \sim \frac{x}{\log x}\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!} $$

en que $\pi_k(x) $ es el número de números con k factores menos que o igual a x.

Véase también el problema 168307 (Generalizada PNT en el límite de los números grandes), que muestra que en un sentido, incluso los números tienen más factores primos que extraño, y cita un resultado de Ramanujan que el "orden normal" de los factores primos de un número n, con o sin repeticiones, es acerca de la $\log\log n.$

Para la última ver Ramanujan, Obras completas, pág. 274. Para la generalización de la PNT ver, por ejemplo, G. J. O. Jameson, El Teorema de los números Primos, p.145.

Edición en respuesta al comentario: Esta es similar a la de Chebyshev del sesgo y bien podría ser que generalizada de los números primos tienen propiedades similares. No creo que la proposición en la OP ha sido probada, de cualquier manera, e incluso la prueba de Chebyshev del sesgo es condicional.