Suponiendo que $f$ es una función integrante determinista convergente en L2. Para transformar $F$ en un semimartingale, uno podría aplicar el teorema de Girsanov y cambiar la medida de probabilidad de su proceso original $F$ .
Para aplicar el teorema de Girsanov, hay que definir un proceso adaptado $\Theta(t)$ tal que, definiendo la derivada de Radon-Nikodym
$$ Z_t = \exp{\{-\int_0^t{\Theta(s)dB_s}-\frac{1}{2}\int_0^t{\Theta(s)^2ds}\}}, $$
$$ \Rightarrow\mathbb{E}\int_0^t{\Theta(s)^2Z_t^2ds}<\infty. $$
Entonces, definiendo
$$ \tilde{B}_t=B_t+\int_0^t{\Theta(s)ds}, $$
$\tilde{B_t}$ es un movimiento browniano.
Volviendo a su proceso,
$$ F_t=\int_0^t f(t-s)dB_s $$
asumiendo que $f(t-s)$ es una función determinista del tiempo, integrable, y $\int_0^t f(t-s)^2dt<\infty$ Sugiero que se escriba
$$ F_t=\int_0^s f(t-u)dB_u+\int_s^t f(t-u)dB_u. $$
A continuación, la fijación de un terminal $t$ para $f$ se podría escribir la siguiente función nueva:
$$ g(s|t)=g(s)=\int_0^s f(t-u)dB_u. $$
Debido a las supuestas propiedades de $f$ siendo en particular de variación acotada, función determinista cuadrada integrable de $u$ , dado $t$ , $g(s)$ es una integral de Ito y una martingala. Por esta razón, es posible escribirla en forma diferencial como:
$$ dg(u)=f(t-u)d\tilde{B}_u. $$
Pero a partir del teorema de Girsanov expresado en forma diferencial tenemos
$$ dB_u=d\tilde{B}_u-\Theta(s)du, $$
para que
$$ dg(u)=f(t-u)dB_u=f(t-u)[d\tilde{B}_u-\Theta(u)du], $$
que devuelve el semimartingale bajo la nueva medida de probabilidad como
$$ dg(u)=-\Theta(u)f(t-u)du + f(t-u)d\tilde{B}_u, $$
que tiene una representación integral
$$ g(s)=g(0)-\int_0^s \Theta(u)f(t-u)du+\int_0^s f(t-u)dB_u. $$
Por lo tanto, ya que, como $s\rightarrow t$ , $g(s)=g(s|t)\rightarrow F_t$ se podría escribir una representación semimartingale para $F$ como
$$ F_t=g(0)-\int_0^t \Theta(s)f(t-s)ds+\int_0^t f(t-s)dB_s, $$
o
$$ F_t=F_0-\int_0^t \Theta(s)f(t-s)ds+\int_0^t f(t-s)dB_s. $$
