El orden de la imagen del elemento divide el orden del elemento

Question

Sé que para grupos finitos $G$ y $H$ y $f: G \to H$ homomorfismo, para cada $x \in G$ :

$$ o(f(x))\mid o(x), $$

donde $o(x)$ es el orden de $x$ .

Si considero que $G,H$ cíclico, como $G = {\mathbb Z_{30}}$ y $H = {\mathbb Z}_{50}$ sabiendo además que $1$ es un generador de ${\mathbb Z}_{30}$ y que, por lo tanto, debe satisfacer esa $f(1)$ es generador de ${\mathbb Z}_{50}$ Lo entiendo.

$$ |H| = o(f(1)) \mid o(1) = |G|, $$

es decir. $50 \mid 30$ .

¿Qué es lo que está mal? O bien la deducción es errónea, o bien el resultado debe entenderse de manera especial.

Answer 1

$f(1)$ no puede ser un generador de $\mathbb{Z}_{50}$ exactamente por esta razón. La imagen de un conjunto de generadores es un conjunto de generadores si y sólo si $f$ es sobreyectiva. No existe ningún homomorfismo suryectivo de $\mathbb{Z}_{30}$ a $\mathbb{Z}_{50}$ .

Answer 2

Un homomorfismo está determinado por la imagen del generador de $G$ .

Desde $o(f(1_G))|o(1_G)=30$ Debemos tener que $f(1_G)$ se asigna a un elemento de orden 1, 2, 3, 5, 10 (estos son los divisores de 30 tales que existen elementos de tal orden en $H$ .

Nota: el número de homomorfismos de grupo distintos entre dos grupos cíclicos de orden $n$ y $m$ depende de $gcd(m,n)$ .