¿Para qué definición de la continuidad es posible la continuidad en el infinito?

Question

¿Para qué definición de la continuidad es posible la continuidad en el infinito?

Por ejemplo, dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x)=x$ . Por intuición, ya que $f$ es siempre continua, en el infinito también es continua.

Formalmente, debemos tener $lim_{x \to \infty+}\ f(x)=lim_{x \to \infty-}\ f(x)$ pero esto no tiene sentido porque no se puede acercar al infinito desde la izquierda y desde la derecha. No es un número.

O

$lim_{a \to \infty}lim_{x \to a+}\ f(x)=lim_{a \to \infty}lim_{x \to a-}\ f(x)$

en cuyo caso el límite de dos lados en el infinito es el mismo que el de un lado y por lo tanto está definido?

Answer 1

Para una función real $f$ definida en un espacio vectorial normativo $X$ la siguiente definición de límite en $\infty$ tiene sentido (y se utiliza en varios ámbitos matemáticos):

$$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=l$$ si y sólo si para todo $\epsilon \gt 0$ existe $M \ge 0$ tal que para todo $\Vert x \Vert \gt M$ tenemos $\vert f(x) -l\vert \lt \epsilon$ .

Sobre la base de esta definición, el límite en $\infty$ de $f(x)=1/x$ es igual a cero. De forma similar, el mapa $g(x)=1/\Vert x \Vert $ definido en un espacio de Banach $(X, \Vert \cdot \Vert)$ tiene por límite $0$ en $\infty$ .

Ver punto en el infinito .