¿Puede un polinomio tener un mínimo local aislado en un punto trascendental?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ . ¿Es posible que haya un punto $\textbf{a} \in \mathbb{R}^n$ con todas las coordenadas trascendentales tales que $\textbf{a}$ es un mínimo local aislado de f? Por aislado quiero decir que existe una vecindad de $\textbf{a}$ tal que para cada $\textbf{b}$ en el barrio, ya sea $f(\textbf{a}) < f(\textbf{b})$ o $\textbf{a} = \textbf{b}$ . En particular, estoy pensando en el caso de que $f$ es no negativo y $f(\textbf{a}) = 0$ .

Me parece que ese mínimo local no debería ser posible. Para $n = 1$ no es posible. Estoy bastante seguro de que no es posible para $n=2$ . Por ejemplo, si $f = (x - 2y)^2$ entonces $f$ tiene un mínimo en $(2\pi,\pi)$ pero no está aislado. No puedo averiguar cómo probar esto para $n>2$ y no puedo encontrar ningún contraejemplo. He probado varias ideas del cálculo y para el caso en que $f(\textbf{a}) = 0$ He tratado de argumentar que la dimensión de la variedad no es cero. Sin embargo, no estoy muy familiarizado con la Geometría Algebraica, así que quizás esta idea no funcione. Cualquier idea será apreciada.

Answer 1

La respuesta es no; las coordenadas de cualquier mínimo local aislado deben ser algebraicas.

Hay un bonito argumento que me gustaría poder utilizar que implica el cociente por el Ideal jacobiano que creo que es lo que sugiere Tabes en los comentarios, pero el problema es que el lugar crítico podría ser de dimensión positiva sobre $\mathbb{C}$ . En cambio, podemos argumentar lo siguiente. Hay una colección de campos llamados campos reales cerrados que puede definirse de varias formas equivalentes, y necesitamos que

1. los números reales algebraicos $\mathbb{R} \cap \overline{\mathbb{Q}}$ son un campo real cerrado, y que
2. todo campo real cerrado satisface las mismas sentencias de primer orden en el lenguaje de campos que $\mathbb{R}$ .

Esto último puede no parecer tan impresionante hasta que se sabe que desigualdades como $x \le y$ son expresables como sentencias de primer orden: sobre un campo real cerrado esta condición es equivalente a $\exists z : y - x = z^2$ . También podemos expresar $x < y$ como la conjunción de $x \le y$ y $x \neq y$ .

En particular, se deduce que la afirmación de que existe un punto $x = (x_1, \dots x_n)$ que es un mínimo local aislado de $f$ ¡puede expresarse en el lenguaje de primer orden de los campos! (Aquí es crucial que los coeficientes de $f$ son racionales por lo que podemos escribirlos todos en el lenguaje de primer orden de los campos). Es decir, equivale a la existencia de $\epsilon > 0$ tal que para todos los puntos $y = (y_1, \dots y_n)$ tal que $\sum (x_i - y_i)^2 < \epsilon$ tenemos que, o bien $f(y) > f(x)$ o $y = x$ .

Por lo tanto, si esta frase es verdadera sobre $\mathbb{R}$ es verdadera sobre cualquier campo real cerrado y por lo tanto verdadera sobre los números algebraicos reales. Pero podemos decir más: si $f$ tiene un mínimo local aislado $a = (a_1, \dots a_n)$ entonces podemos expresar la afirmación de que $f$ tiene un mínimo local aislado cerca de $a$ como una sentencia de primer orden, eligiendo un número suficientemente pequeño de $\delta > 0$ y encontrar límites racionales superiores e inferiores $r_i \in (a_i - \delta, r), s_i \in (r, a_i + \delta)$ y añadiendo a la frase anterior las condiciones que $r_i \le x_i \le s_i$ . Si elegimos $\delta$ lo suficientemente pequeño como para que, sobre $\mathbb{R}$ , $a$ es el único mínimo local aislado que satisface estos límites, entonces la existencia de $a$ en $\mathbb{R}$ implica la existencia de un mínimo local aislado cerca de $a$ sobre cualquier campo real cerrado y en particular sobre los números algebraicos reales, que deben ser $a$ mismo. Así que $a$ sólo tiene coordenadas algebraicas.