Supongamos que estamos en ZFC, vamos a $\mathcal U$ ser un incontable Grothendieck del universo y considerar el conjunto de sus partes $\mathcal{P(U)}$. (Yo índice de axiomas como $(\mathcal U.n)$)
Tenga en cuenta que si $x \in \mathcal U$,$x \in\mathcal{P(U)}$, directamente desde $(\mathcal U.1)$ (es decir, $\mathcal U$ es un conjunto transitivo).
Además, si $x \in \mathcal{P(U)}$$|x|<|\mathcal U|$,$x \in \mathcal U$. (Esto no es tan trivial y requiere el axioma de elección. En realidad, en ZFC, Grothendieck universos son equivalentes a lo que se llama transitiva de Tarski de la clase; un esbozo de la prueba, en italiano, se puede encontrar aquí).
Por lo tanto, $\mathcal{P}_<(\mathcal U) := \{x \in \mathcal{P(U)}\,|\,|x|<|\mathcal U|\} = \mathcal U$.
Denotando $\mathcal P_=(\mathcal U) := \{C \in \mathcal{P(U)}\,|\,|C|=|\mathcal U|\}$,$\mathcal{P(U)} = \mathcal{P}_<(\mathcal U) \cup \mathcal P_=(\mathcal U) = \mathcal U \cup \mathcal P_=(\mathcal U)$, la unión, desunión.
Definir la relación binaria $\in_{\mathcal U} \subseteq \mathcal{P(U)}\times \mathcal{P(U)}$ tal que ${\in_{\mathcal U}}_{|\mathcal U \times \mathcal{P(U)}} = {\in_{\text{ZFC}}}_{|\mathcal U \times \mathcal{P(U)}}$${\in_{\mathcal U}}_{|\mathcal P_=(\mathcal U) \times \mathcal{P(U)}} = \emptyset$. Es decir, $\in_{\mathcal U}$ restringido a $\mathcal U \times \mathcal{P(U)}$ es habitual que se establezca relación de la $\in_{\text{ZFC}}$ de ZFC (es decir, sólo $\in$, si se prefiere); y no hay otro par en $\in_{\mathcal U}$.
Qué $(\mathcal{P(U)}, \in_{\mathcal U})$ servir como un modelo de NBG?
Como dos clasificados de la teoría, esto es equivalente a elegir a $\mathcal{P(U)}$ como clases, como conjuntos de las partes $x \in \mathcal{P(U)}$ tal que $x \in \mathcal U$ (es decir, las partes $x \subset U$ tal que $|x| < |\mathcal U|$) y como binario relación con la modificación de la pertenencia a $\in_{\mathcal U}$ definido anteriormente.
