Un problema relativo al hiperboloide de una hoja

Question

Estoy confundido con la siguiente pregunta.

Se sabe que un hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada que contiene dos grupos de líneas en su superficie.

El problema es demostrar que todo plano que contenga una recta en un grupo también contiene una recta en el otro grupo.

Answer 1

Su configuración es invariable bajo transformaciones afines. Así que, sin pérdida de generalidad, supongamos que el hiperboloide es $x^2+y^2-z^2=1$ y la línea a ser $\{(1,t,t)\mid t\in\mathbb R\}$ . Esta línea tiene un vector de dirección $(0,1,1)$ que es ortogonal a ambos $(1,0,0)$ y $(0,1,-1)$ por lo que se puede describir la familia de planos a través de esta línea como

$$ax+by-bz=a$$

Para $b=0$ este es el avión $x=1$ que también contiene la línea $\{(1,t,-t)\mid t\in\mathbb R\}$ satisfacer su demanda.

Así que el caso más interesante es $b\neq 0$ para lo cual podemos suponer $b=1$ ya que la ecuación es homogénea por lo que siempre se puede escalar a esta. En este caso, si este plano interseca al hiperboloide en una recta de la segunda familia, esa segunda recta pasará por el plano $z=0$ en algún momento que no sea $(1,0,0)$ . Con $z=0$ y $b=1$ la ecuación del plano da como resultado

$$y = a-ax$$

y lo introducimos en el hiperboloide para obtener

$$x^2+(a-ax)^2=1\qquad\Rightarrow\quad x\in\left\{1,\frac{a^2-1}{a^2+1}\right\}$$

La primera solución es el punto en el que la línea de la primera familia se cruza con la $z=0$ plano. Así que vamos a concentrarnos en el segundo, calculando $y$ de $x$ como en el caso anterior:

$$x=\frac{a^2-1}{a^2+1}\qquad y=\frac{2a}{a^2+1}$$

Fíjate en que esto se parece a la fórmula del semiángulo tangente. Ahora la suposición es que la rotación $\{(1,t,-t)\mid t\in\mathbb R\}$ alrededor del $z$ eje a este punto debería dar lugar a otra línea que se encuentra totalmente en el plano. Intentémoslo:

$$\frac{1}{a^2+1} \begin{pmatrix}a^2-1&-2a&0\\2a&a^2-1&0\\0&0&a^2+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\t\\-t\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(a^2-2ta-1)/(a^2+1)\\(ta^2+2a-t)/(a^2+1)\\-t\end{pmatrix}$$

Este es un punto de la segunda familia de líneas. Se cumple tanto la ecuación del hiperboloide (que debe cumplir gracias a la rotación) como la del plano $ax+y-z=a$ (que es lo relevante aquí). Esto último con más detalle:

\begin{align*} a\frac{a^2-2ta-1}{a^2+1}+\frac{ta^2+2a-t}{a^2+1}+t&= \frac{a^3-2ta^2-a+ta^2+2a-t+ta^2+t}{a^2+1}\\= \frac{a^3+a}{a^2+1}&=a \end{align*}

Así que sí, hay una línea de la segunda familia en este plano específico, que es lo suficientemente genérico como para cubrir todos los posibles planos que contienen una de las líneas para todos los posibles hiperboloides de una hoja.