Pasar de las amplitudes de dispersión a los potenciales clásicos

Question

1. En el libro de texto de Maggiore, define la amplitud $$\langle k_1,..,k_n|S-1|p_1,..,p_m\rangle=(2\pi)^4\delta^{(4)}\left(\Sigma_i k_i-\Sigma_ip_j\right)\ i\mathcal{M},\tag{5.115}$$ donde $S-1=iT$ . Cuando trata de calcular el potencial clásico para un $2\rightarrow 2$ dispersión, escribe (ec. 6.68) $$i\mathcal{M}=\left( \langle k_1, k_2|iT|p_1,p_2 \right)^{(R)}\tag{6.68}$$ donde el superíndice $R$ significa relativista. ¿Dónde están los factores de $(2\pi)^4\delta^{(4)}\left(\Sigma_i k_i-\Sigma_ip_j\right)$ ¿Ir?

Podemos entonces utilizar $|k_1, k_2\rangle^{(R)}=\sqrt{2E_{k_1}}\sqrt{2E_{k_2 }}|k_1, k_2\rangle^{(NR)}$ , donde $NR$ significa no relativista. Se puede entonces utilizar la aproximación de Born para demostrar que el potencial clásico $V(x)$ es menos la transformada de Fourier de $\mathcal{M}$ (ecuación 6.71, p.169).

---

2. La segunda cuestión consiste en obtener el potencial de Coulomb corregido en QED a partir del siguiente proceso:

Schwartz (de QFT y el modelo estándar, capítulo sobre la polarización del vacío) define primero el segundo diagrama como $i\Pi^{\mu\nu}_2$ y luego lo escribe en la forma $$i\Pi^{\mu\nu}_2=i(-p^2g^{\mu\nu}+p^\mu p^\nu)e^2\Pi_2(p^2)\tag{16.48}$$ Ahora se puede calcular el diagrama completo y encontrar (ec. 16.50, p.309) $$-i\dfrac{\left[1-e^2\Pi_2(p^2)\right]g^{\mu\nu}}{p^2} +(\text{terms $ \^propto p^\mu p^\nu $ that have to do with the gauge})\tag{16.50}$$

Ahora bien, según entiendo, si además incluimos la contribución de las patas externas, que sería en forma de los vectores de polarización, $\epsilon_1^\mu, \epsilon_2^{\nu*}$ El $\mu,\nu$ Los índices en (16.48) se contraerían y obtendríamos algo que recuerda a $i\mathcal{M}$ y podemos seguir el proceso de la primera parte de la pregunta para encontrar el potencial clásico.

En cambio, Schwartz sólo toma la parte de (16.50) que es proporcional a $g^{\mu\nu}$ , da una bofetada a un extra $e^2$ delante y define $$\tilde{V}(p)=e^2\dfrac{\left[1-e^2\Pi_2(p^2)\right]}{p^2}\tag{16.51}$$ como la transformada de Fourier del potencial clásico.

¿Puede alguien explicar este paso? No veo por qué no hemos contratado los índices extra y dónde está el $e^2$ viene de. Es decir, puedo darle un poco de sentido (tal vez adjuntar vértices al final que darían lugar a la $e^2$ ), pero me gustaría tener una idea clara de cómo manejar estas situaciones para obtener los potenciales clásicos y poder manejar yo mismo los casos más difíciles.

Answer 1

La ecuación 6.68 tal y como la citas parece errónea. He aquí cómo argumentar mejor que las funciones delta deben "desaparecer": La aproximación de Born dice que la amplitud de dispersión para un momento $\vec p$ en un impulso $\vec p'$ es $$ A_\text{QM}(p,p') = (2\pi)\delta(E_p - E_{p'})(-\mathrm{i})\langle \vec p\vert V\vert \vec p'\rangle,$$ y la expresión correspondiente de la QFT es el límite no relativista de $$ A_\text{QFT}(p,p') = \int \langle p',k'\vert \mathrm{i}T\vert p,k\rangle\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec k\cdot\vec r}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3},$$ donde la integración sobre $k$ es porque la dispersión necesita tratar uno de los electrones como la fuente "fija" del potencial en algún lugar $\vec r$ para que sea comparable a la dispersión de la aproximación de Born de un potencial $V$ que tampoco tiene en cuenta la fuente del potencial para incurrir en un retroceso. Así que con la definición de $\mathrm{i}\mathcal{M}$ que das primero, esto es $$ A_\text{QFT}(p,p') = \int(2\pi)^4\delta^{(4)}(p' + k' - p + k)\mathrm{i}\mathcal{M}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec k\cdot\vec r}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}$$ y ahora la integral sobre $\vec k$ mata la parte espacial del $\delta^{(4)}$ y sólo impone $\vec k' = \vec p - \vec p'$ dejando un $\delta(E' - E)$ para las energías final e inicial. Ahora se ve que $$ \langle \vec p\vert V\vert \vec p'\rangle = -\mathcal{M} = -f^\mu e \Pi_{\mu\nu} e f^\nu,$$ comparando las expresiones QM y QFT, donde $f^\mu = \bar u_{s'}(p') \gamma^\mu u_s(p)$ son las contribuciones fermiónicas (como quiera escribirlas) y $\Pi^{\mu\nu} = \Pi g^{\mu\nu}$ es el propagador del fotón. En el límite no relativista obtenemos $f^\mu \approx 2m \delta_{s's}\delta^{\mu0}$ y así, después de descartar la resultante $(2m)^2$ porque la normalización entre los estados de momento no relativistas y relativistas difiere obtenemos finalmente $$ \langle \vec p\vert V\vert \vec p'\rangle = -e^2\Pi^{00} = e^2\Pi. \tag{*}$$ Al calcular la corrección de 1 bucle, nada cambia en esta lógica, excepto la expresión para $\Pi$ por lo que podemos pasar directamente a utilizar la ec. $({}^*)$ .

(En esta respuesta no se garantiza la ausencia de signos o factores espurios de $\mathrm{i}$ porque no importan para la lógica general)