Sobre la dilatación unitaria de la Isometría

Question

Recientemente estoy tratando con los teoremas de Nagy y Stinespring y como idea detrás de ellos estuve leyendo lo siguiente:

Si consideramos $V$ una isometría en $\mathcal{H}$ espacio de Hilbert y dejemos que $P = I_{\mathcal{H}}-VV^*$ sea la proyección sobre el ortocomplemento del rango de $V$ . Si definimos $U$ en $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H} = \mathcal{K}$ como

\begin{equation} U = \begin{pmatrix} V & P \\ 0 & V^* \end{pmatrix} \end{equation}

Es fácil ver que $U$ es unitario en $\mathcal{K}$ . Hasta ahora todo está bien, pero luego si identificamos $\mathcal{H}$ con $\mathcal{H} \oplus 0$ entonces

$$V^n = P_{\mathcal{H}}{U^n}|_{\mathcal{H}} \hspace{5mm} \forall n \ge 0 $$

En primer lugar, ¿cuál es el significado de escribir " $\mathcal{H} \oplus 0$ ", ¿y por qué lo hacemos?

¿cómo puedo demostrar que esto es válido para las potencias de ambos operadores?

Además, ¿cuál es el papel de $P_{\mathcal{H}}$ si ya estoy considerando la restricción de $U$ a $\mathcal{H}$ ? ¿Tal vez porque tenemos que considerar que dos cosas tienen la misma dimensión? (porque $U$ vive en $\mathcal{K} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$ ). Gracias.

Answer 1

Lo que significa es esto: $\mathcal H \oplus \mathcal H$ consiste en pares de vectores $(u,v)$ donde $u$ y $v$ están en $\mathcal H$ . Identificamos $\mathcal H$ como el subespacio de $\mathcal H \oplus \mathcal H$ consistente en pares de la forma $(u,0)$ . Para un operador en $\mathcal H \oplus \mathcal H$ escrito en forma de bloque como $$ A = \pmatrix{ B & C\cr D & E\cr}$$ $\left. P_{\mathcal H} A\right|_{\mathcal H} = B$ . Lo que esto significa es que si tomas un vector $u \in \mathcal H$ e identificarlo como $(u,0) \in \mathcal H \oplus \mathcal H$ , $A (u,0) = (Bu, Du)$ y la proyección sobre $\mathcal H$ (identificado como el primer bloque) de este es $Bu$ .

Si toma el $n$ potencia de un operador donde el bloque inferior izquierdo es $0$ se obtiene uno en el que el bloque inferior izquierdo sigue siendo $0$ y los bloques diagonales son los $n$ potencias de esos bloques en el operador original (se demuestra por inducción). Así que en el caso de $U$ , esto está diciendo que el bloque superior izquierdo de $U^n$ es $V^n$ .