Automorfismos de $\mathbb{C}$ y la teoría de Galois

Question

Estoy tratando de enseñarme la teoría de Galois, y me encuentro con una aparente contradicción que no puedo resolver. En la página de la wikipedia sobre las extensiones de Galois, se afirma que para cualquier campo de característica $0$ su cierre algebraico es una extensión de Galois. Esto parece implicar que $\mathbb{C}$ es una extensión de Galois de $\mathbb{R}$ y, de hecho, muchas otras fuentes parecen respaldarlo.

Pero entonces vi esta pregunta lo que parece implicar la existencia de automorfismos de $\mathbb{C}$ que no arreglar $\mathbb{R}$ - en particular, sólo fijan (como mínimo) los racionales. Entonces, ¿cómo puede $\mathbb{C}$ sea una extensión de Galois de $\mathbb{R}$ ¿ si no arregla el campo base? ¿Es erróneo el teorema anterior? ¿O estoy confundiendo mis definiciones?

Answer 1

El teorema es correcto y $\mathbb{C}$ es una extensión de Galois de $\mathbb{R}$ . Hay dos definiciones estándar de la extensión de Galois y la respuesta será diferente para cada una. La que yo prefiero es que una extensión algebraica $K \to L$ es Galois si el grupo $G = \text{Aut}(L/K)$ de automorfismos de $L$ que arreglan $K$ tiene la propiedad de que $K$ es precisamente su subcampo fijo, o en símbolos $K = L^G$ . Esta definición no hace referencia a ningún otro automorfismo de $L$ que no arreglan $K$ que pueden hacer lo que quieran.