Sabemos que cualquier conjunto con medida exterior cero es medible, y el conjunto vitali en $[0,1]$ no es medible. Así que debe tener una medida exterior no nula.
$\textbf{Lemma: }$ Para cualquier $q \in \mathbb{Q}$ tal que $0 < q < 1$ cualquier conjunto vitali de $[0,q]$ tiene la misma medida exterior que un conjunto vitali de $[0,1]$ .
$\textbf{Proof: }$ Dejemos que $q \in \mathbb{Q}$ sea cualquier número racional tal que $0 < q < 1$ . Sea $V \subset [0, q]$ y $V' \subset [0,1]$ ambos sean conjuntos vitales.
Supongamos que existe un elemento $v' \in V'$ , tal que para todo $v \in V$
$$v \not\sim v' \Rightarrow v - v' \not\in Q$$
Pero debe existir $n \in \mathbb{N}$ tal que $(v' - nq) \in [0, q]$ . Por la definición de conjunto vitali elegimos un elemento de cada clase de equivilencia. Por tanto, debe existir algún elemento $v \in V$ tal que $v \sim (v' - nq)$ lo que implica que $v \sim v'$ , dándonos una contradicción.
Así que para cada elemento $v' \in V'$ existe alguna $v \in V$ tal que $v' \sim v$ . Así que, $V \subset [0,q]$ es también un conjunto vitali de $[0,1]$ es decir, cada clase de equivalencia está cubierta por ambas. Así, podríamos incluso imaginar que $V = V'$ Por lo tanto $m^*(V) = m^*(V')$ .
$\textbf{Question: }$ Supongamos que $m^*(V') = \epsilon > 0$ . Sea $q \in \mathbb{Q}$ tal que $0 < q < \epsilon$ . Sea $V \subset [0,q]$ sea un conjunto vitali. Esto nos da
\begin{align*} V \subset [0,q] & \Rightarrow m^*(V) \leq m^*([0,q]) = q < \epsilon = m^*(V') = m^*(V)\\ & \Rightarrow m^*(V) < m^*(V) \end{align*}
Esto es una contradicción y por eso $m^*(V') = 0$ lo que implica que es medible.
¿En qué me he equivocado?
