Consideremos la siguiente desigualdad que se aplica a tres vectores cualesquiera: $$0\leq \langle x+y+z,x+y+z\rangle=\langle x,x\rangle + \langle y,y\rangle +\langle z,z\rangle + 2\langle x,y\rangle + 2\langle x,z\rangle + 2\langle y,z\rangle$$ Como son vectores unitarios, esto se simplifica a: $$0\leq 3+2\langle x,y\rangle + 2\langle x,z\rangle + 2\langle y,z\rangle.$$ Una consecuencia particular es que al menos uno de los productos internos tiene que ser mayor que $-\frac{1}2$ . Es decir, no se pueden tener tres vectores, siendo todos los ángulos entre ellos mayores que $2\pi/3$ .
Se puede observar que si se añaden más vectores esto empeora, ya que $$0\leq \left\langle \sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^nx_i\right\rangle=\sum_{i=1}^n\langle x_i,x_i\rangle + 2\sum_{1\leq i < j \leq n}\langle x_i,x_j\rangle$$ lo que implica, si resolvemos las cosas, que hay algún par $\langle x_i,x_j\rangle$ tal que $$\langle x_i,x_j\rangle\geq \frac{-n}{2{n\choose 2}}=\frac{-1}{n-1}$$ que, por supuesto, tiende a cero con grandes $n$ . Es decir, si se exige que el ángulo entre los vectores sea al menos $\theta$ para $\theta>\pi/2$ , se pone un límite superior absoluto al número de vectores que no crece con la dimensión después de un punto.
Se puede comprobar que este límite es estricto, es decir, que existen conjuntos (en una dimensión suficientemente alta) con productos internos bajos siempre que no violen la condición anterior; en particular, si fijamos cualquier $|\alpha|\leq \frac{1}{n-1}$ podemos definir un $n\times n$ matriz $M$ al establecer $M_{ii}=1$ y $M_{ij}=\alpha$ para $i\neq j$ . Esta matriz está dominada (débilmente) por la diagonal y, por tanto, es semidefinida positiva, por lo que podemos definir un producto sobre $\mathbb R^n$ por $[v,w]=v^TMw$ . Sea $V$ sea el subespacio en el que $[v,v]=0$ . Entonces $\mathbb R^n/V$ es un espacio de producto interno. Como todos los espacios de producto interno de la misma dimensión finita son isomorfos, existe un mapa preservador del producto interno desde $\mathbb R^n$ bajo nuestro producto semi-interno a $\mathbb R^n$ con el producto interior habitual; la imagen de la base canónica (es decir, los vectores con exactamente una entrada, que es uno) bajo este mapa será un conjunto de vectores unitarios, tal que el producto interior de dos cualesquiera es $\alpha$ .
