Hallar la altura de una pirámide cuadrada dada sólo la anchura de su base y el ángulo de la cara lateral

Question

No estoy seguro de cómo empezar, así que lo lanzo para los expertos.

Digamos que tengo una típica pirámide cuadrada con una base de 100x100 metros.

Y, lo único que conozco es el ángulo de la cara lateral, que es el ángulo que se forma entre dos caras laterales vecinas de la pirámide.

Teniendo en cuenta sólo estas dos medidas de la pirámide, ¿cómo podría calcular su altura?

(Para una explicación del ángulo de la cara lateral, vea aquí : https://www.youtube.com/watch?v=rvVmp-v_D6E .)

Answer 1

Dejemos que $a$ sea la longitud del lado del cuadrado base y $\theta$ el ángulo de la cara lateral. Además, dejemos que $\beta$ sea el ángulo entre la altura de la pirámide y los bordes laterales. A partir de los triángulos rectos del diagrama, tenemos

$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{\cos\beta} = \frac{b}{OP}\tag{1}$$

donde $b$ es la mitad de la longitud del diámetro del cuadrado base, es decir $b=a/\sqrt 2$ . La altura de la pirámide $h$ es,

$$ h = \frac{b}{\tan\beta} $$

De (1),

$$\tan\beta = \sqrt{ \tan^2\frac{\theta}{2} -1}$$

Así, la altura es

$$h= \frac{a}{\sqrt{ 2\left(\tan^2\frac{\theta}{2} -1\right)}}$$

Answer 2

Una pista. Toma una sección media con un plano vertical que pasa por el vértice y el centro de la base. Entonces tienes un triángulo isósceles, cuya base y ángulo de vértice conoces. Entonces puedes encontrar su altitud fácilmente.