Evaluar $\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx$

Question

Cómo puedo evaluar la siguiente integral impropia:

$$ \int\limits_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx$$

He intentado evaluarlo mediante la integración por partes, pero he fracasado. Por favor, ayuda

Answer 1

La integral es convergente por la prueba de Dirichlet. Podemos observar que $$ I=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(x)\cdot\color{green}{\left[\frac{1}{x}+\sum_{n\geq 1}(-1)^n\left(\frac{1}{x+n\pi}+\frac{1}{x-n\pi}\right)\right]}dx\tag{1}$$ Por lo tanto, basta con entender qué tipo de función es la función verde.
Por el producto de Weierstrass para la función seno: $$ \sin(x) = x\cdot\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\tag{2}$$ y considerando la derivada logarítmica de ambos lados: $$ \cot(x) = \frac{1}{x}+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{x+n\pi}+\frac{1}{x-n\pi}\right) \tag{3} $$ que lleva a: $$ \frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{x}+\sum_{n\geq 1}(-1)^n\left(\frac{1}{x+n\pi}+\frac{1}{x-n\pi}\right)\tag{4} $$ que es exactamente la función verde. Se deduce que: $$ I = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x}\,dx = \color{red}{\frac{\pi}{2}}.\tag{5} $$

Esta es una explicación de la respuesta de qoqosz aquí .

Answer 2

Se define la función $$F(t)=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-xt}dx$$ usted demuestra que $F$ satisface una ecuación diferencial simple. se encuentra $F(t)$ y $F(0)$ le da el resultado $\frac{\pi}{2}$ .