Si ambos $a,b>0$ entonces $a^ab^b \ge a^bb^a$

Question

Demostrar que $a^a \ b^b \ge a^b \ b^a$ si ambos $a$ y $b$ son positivos.

Answer 1

Sólo tenemos que demostrar que $a^{a-b} \ge b^{a-b}$ . Esto equivale a $(\frac{a}{b})^{a-b} \ge 1$ .

Si $a \ge b$ entonces $\frac{a}{b} \ge 1$ , También $a-b \ge 0$ . Un número mayor que $1$ elevado a un exponente positivo es claramente mayor que $1$ .

Si $a \le b$ entonces $\frac{a}{b}\leq 1$ . $a-b\leq 0$ . Un número positivo menor que $1$ elevado a un exponente negativo es mayor que $1$ .

Por lo tanto, hemos terminado ya que hemos considerado ambos casos.

Answer 2

$$\log(a^a b^b)=a \log a + b \log b$$ $$\log(a^b b^a)=a \log b + b \log a$$ Así, por el desigualdad de reordenación porque $\log$ es estrictamente creciente, $$\log(a^a b^b)\geq \log(a^b b^a)$$ Del mismo modo, porque $\log$ es estrictamente creciente, $$a^a b^b \geq a^b b^a.$$

Esto se puede generalizar de la siguiente manera. Sea $\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_n$ sea cualquier permutación de $1, 2, ..., n$ entonces $$ a_1^{a_1} a_2^{a_2} a_3^{a_3} \cdots a_n^{a_n} \ge a_1^{a_{\sigma_1}}a_2^{a_{\sigma_2}} \cdots a_{n-1}^{a_{\sigma_{n-1}}}a_n^{a_{\sigma_n}} \ge a_1^{a_n} a_2^{a_{n-1}}\cdots a_{n-1}^{a_2} a_n^{a_1} $$ por un argumento idéntico.

Answer 3

Esta desigualdad equivale a $a\ln a+b\ln b\geq a\ln b+b\ln a$ lo cual es obvio una vez reordenado como $(a-b)(\ln a-\ln b)\geq 0$ .

Answer 4

$$ \left(\frac ab\right)^{a-b}-1=\frac{a^ab^b-a^bb^a}{b^aa^b}$$

Si $a=b, \left(\dfrac ab\right)^{a-b}=1$

En caso contrario, si $a>b;\dfrac ab>1$ y $a-b>0\implies \left(\dfrac ab\right)^{a-b}>1$

Del mismo modo, si $a<b$

Answer 5

Dado que ambos $a$ y $b$ son enteros positivos, consideremos el caso en que $b > a$ .

$b$ puede expresarse como $a+x$ , donde $x$ es un número entero positivo.

para demostrar $a^a b^b > a^b b^a$ necesitamos demostrar que $a^a b^b - a^b b^a > 0$

Reescritura $a^a b^b - a^b b^a$ sustituyendo $b = (a+x)$

$= a^a (a+x)^{a+x} - a^{a+x} (a+x)^a$

ampliar los poderes

$= a^a (a+x)^a (a+x)^x - a^a a^x (a+x)^a$

sacando los factores comunes del paréntesis, obtenemos

$= a^a (a+x)^a [ (a+x)^x - a^x ] $

desde $x \gt0$ , $(a+x)^x$ debe ser mayor que $a^x$ por lo que la expresión anterior se evalúa con un valor mayor que cero.

El otro caso de $a\gt b$ es la misma que ésta, ya que el orden de $a$ y $b$ no importan, mientras que $a=b$ es trivial.