Velocidad media de las partículas sobreamortiguadas en el campo externo

Question

En resumen: ¿cómo obtener la velocidad media a partir de la ecuación de Fokker-Planck en el régimen sobreamortiguado? (es decir, cuando la densidad de probabilidad es $P(\mathbf{x},t)$ y no $P(\mathbf{x},\mathbf{v},t)$ Si no fuera así, podríamos considerar sólo el primer momento de la variable $\mathbf{v}$ ).

Antecedentes: el Ecuación de Langevin en el régimen de sobreamortiguación (es decir, no hay $\ddot{\mathbf{x}}$ ) es

$$ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{V}(\mathbf{x}(t)) + \boldsymbol{\eta}(t) \, $$

donde $\mathbf{V}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ es un campo suave y $\boldsymbol{\eta}$ es el término habitual de ruido blanco,

$$ \langle \eta_i(t) \eta_j(t') \rangle_{noise} = 2 D \delta_{ij} \delta(t-t') $$

El relacionado Fokker Planck ecuación para la distribución de partículas $P(\mathbf{x},t)$ es la ecuación de conservación de la probabilidad total:

$$ \partial_t P(\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot ( \mathbf{J}_a +\mathbf{J}_d) $$

donde

$$ \mathbf{J}_a(\mathbf{x},t) = P(\mathbf{x},t) \mathbf{V}(\mathbf{x}) \\ \mathbf{J}_d(\mathbf{x},t) = - D \, \nabla P(\mathbf{x},t) $$

son las contribuciones de "advección" y "difusión" a la corriente de probabilidad total.

Pregunta: considerar la EDO de Langevin para muchas partículas o la PDF de Fokker-Planck deberían ser equivalentes, al menos en el límite de muchas partículas (es decir, muchas realizaciones de la dinámica de Langevin). ¿Cómo obtener la velocidad media de las partículas en las dos descripciones (Langevin VS Fokker-Planck)?

Langevin: parece natural resolver la EDO de $N$ diferentes partículas, con diferentes condiciones iniciales ${\mathbf{x}}_i(0)$ (digamos, distribuido uniformemente en el dominio $\Omega$ en $t=0$ ) y diferentes realizaciones del ruido $\boldsymbol{\eta}$ . Las partículas no pueden salir $\Omega$ para que $N$ es constante. Por lo tanto, la velocidad media es

$$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle_N = N^{-1} \sum_{i=1..N} \dot{\mathbf{x}}_i(t) $$

Fokker-Planck: en $t=0$ podríamos elegir un determinado $P(\mathbf{x},0)$ , digamos uniforme (porque en la imagen de Langevin las posiciones iniciales de las partículas estaban distribuidas uniformemente), $P(\mathbf{x},0) = 1/|\Omega|$ , donde $|\Omega|$ es la medida del dominio $\Omega$ . Al resolver la ecuación de Fokker-Planck se obtiene $P$ en momentos posteriores, $P(\mathbf{x},t)$ . ¿Cuál es la velocidad media de las partículas? Para grandes $N$ ¿tenemos eso?

$$ \langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle_N \approx \int_\Omega d^nx \, \mathbf{J}_a(\mathbf{x},t) = \int_\Omega d^nx \, P(\mathbf{x},t) \mathbf{V}(\mathbf{x}) $$

o tenemos que considerar la corriente de probabilidad completa

$$ \langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle_N \approx \int_\Omega d^nx \, (\mathbf{J}_a(\mathbf{x},t)+\mathbf{J}_d(\mathbf{x},t)) \, \, ? $$

Answer 1

Supongamos que está familiarizado con Cálculo de Ito y ecuación diferencial estocástica El método estándar en matemáticas para tratar la dinámica con ruido blanco como Langevin.

1. La dinámica de Langevin sobreamortiguada difiere esencialmente de la dinámica estándar de Lagevin. En particular, podría no se puede considerar como una simple supresión del término de inercia.

La diferencia puede verse de la siguiente manera.

Consideremos la dinámica estándar de Langevin, que se suele plantear así en física: $$ \mu\,\ddot{x}(t)=-\dot{x}(t)-\nabla\phi(x(t))+\sqrt{2D}\,\eta(t), $$ y se pondrá de la siguiente manera en las matemáticas: \begin{align} {\rm d}x_t&=v_t\,{\rm d}t,\\ \mu\,{\rm d}v_t&=-v_t\,{\rm d}t-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t+\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t, \end{align} donde $\mu=m/\gamma$ es la masa reducida, $\phi=\Phi/\gamma$ es el potencial escalado, $\eta(t)$ denota el ruido blanco normalizado, $D$ es la constante de difusión, y $W_t$ es el Proceso Wiener (es decir, movimiento browniano estándar).

En el régimen de sobreamortiguación, se supone que $\mu\to 0^+$ y, por lo tanto, esperaría que la dinámica estándar de Langevin se redujera a, en física, $$ \dot{x}(t)=-\nabla\phi(x(t))+\sqrt{2D}\,\eta(t), $$ o, de forma equivalente, en matemáticas, a \begin{align} {\rm d}x_t&=v_t\,{\rm d}t,\\ v_t\,{\rm d}t&=-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t+\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t. \end{align} Por la primera sub-ecuación, las ecuaciones reducidas también escriben \begin{align} {\rm d}x_t&=v_t\,{\rm d}t,\\ {\rm d}x_t&=-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t+\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t. \end{align} La segunda subecuación representa la dinámica de Langevin sobreamortiguada, también conocida como dinámica browniana.

Sin embargo, al poner "régimen sobreamortiguado", hay que centrarse no sólo en la segunda subecuación, sino también en la primera. Por desgracia, estas dos subecuaciones se contradicen entre sí.

• Por ${\rm d}x_t=v_t\,{\rm d}t$ , $x_t$ es una integral temporal habitual de otro proceso estocástico $v_t$ para el que tiene cero variación cuadrática . Más concretamente, ${\rm d}\left<x,x\right>_t=0$ . Esto puede entenderse intuitivamente como que, aunque $x_t$ es ahora un proceso estocástico, sigue siendo casi siempre continuo en el tiempo y diferenciable. Como tal, la velocidad sigue estando bien definida como la derivada temporal de la posición.
• Por ${\rm d}x_t=-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t+\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t$ , $x_t$ no sólo es una integral temporal habitual de otro proceso estocástico $\nabla\phi(x_t)$ pero también un integral estocástica con respecto al proceso de Wiener $W_t$ para el que su variación cuadrática es distinta de cero, es decir ${\rm d}\left<x,x\right>_t=2D\,{\rm d}t$ . Intuitivamente, esto significa que $x_t$ es ahora casi en todas partes continuo en el tiempo, pero en ninguna parte diferenciable en el tiempo, para lo cual la velocidad ni siquiera está definida si se sigue tomando como alguna derivada temporal de la posición.

Por lo tanto, no es autoconsistente tomando la dinámica Langevin sobreamortiguada como la dinámica Langevin estándar con $\mu\to 0^+$ .

2. Velocidad de deriva y/o energía cinética total, realmente depende de lo que uno quiera realmente.

Centrarse en la dinámica browniana $$ {\rm d}x_t=-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t+\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t. $$ Esta única ecuación sigue teniendo sentido. La pregunta es: ¿Cuál es la definición correcta de velocidad para $x_t$ que resuelve esta ecuación?

Consideremos dos casos concretos.

• No hay potencial, es decir, $\phi=0$ . En este caso, la ecuación anterior da como resultado $$ {\rm d}x_t=\sqrt{2D}\,{\rm d}W_t\iff x_t=x_0+\sqrt{2D}\,W_t, $$ que es el modelo estándar para describir el movimiento browniano. Para este tipo de movimiento, no tiene sentido hablar de la velocidad de una partícula browniana, sino de su energía cinética media. Matemáticamente, ésta se caracteriza por la variación cuadrática de $x_t$ es decir, ${\rm d}\left<x,x\right>_t=2D\,{\rm d}t$ , asumiendo la masa unitaria.
• No hay difusión, es decir, $D=0$ . En este caso, la ecuación anterior se convierte en $$ {\rm d}x_t=-\nabla\phi(x_t)\,{\rm d}t. $$ Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es continua en el tiempo y diferenciable, para la cual la velocidad es en el sentido habitual, es decir, ${\rm d}x_t=v_t\,{\rm d}t$ y puede obtenerse de $v_t=-\nabla\phi(x_t)$ al resolver $x_t$ .

Volvamos a la dinámica browniana. Cuando se habla de su velocidad, depende realmente de la velocidad que uno quiera realmente. Si uno quiere sólo la velocidad de deriva, entonces debería ser $$ v_t=-\nabla\phi(x_t). $$ En este caso, sólo $\mathbf{J}_a$ se incluirá en el uso de la ecuación de Fokker-Plank. Por el contrario, si se quiere la energía cinética total, entonces ésta debe incluir tanto la parte derivada de la velocidad de deriva, como la parte aportada por la difusión. En este caso, ambas $\mathbf{J}_a$ y $\mathbf{J}_d$ se incluirá.

Answer 2

La cantidad $ \langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle_N $ definida en la pregunta es la derivada temporal del centro de masa del $N$ partículas no interactivas que constituyen el conjunto (es decir, el $N$ sondas que exploran el dominio computacional $\Omega$ en el cuadro de Langevin).

En el marco de Fokker-Planck, el centro de masa es el primer momento de la posición,

$$\langle \mathbf{x} \rangle = \int_\Omega P( \mathbf{x}, t ) \mathbf{x} d^3x$$

Tómate la derivada del tiempo,

$$ \frac{d}{dt}\langle \mathbf{x} \rangle = \int_\Omega \mathbf{x} \, \partial_t \, P( \mathbf{x}, t ) d^3x = - \int_\Omega \mathbf{x} \, \nabla \cdot [ \mathbf{J}_a( \mathbf{x}, t ) + \mathbf{J}_d( \mathbf{x}, t ) ] d^3x $$

En este punto es fácil obtener (se suman los índices repetidos)

$$ \frac{d}{dt}\langle x_i \rangle = \int_\Omega J^i_a( \mathbf{x}, t ) d^3x + \int_{\partial\Omega} Q_{ij}( \mathbf{x}, t ) d\Sigma_j $$

donde $ Q( \mathbf{x}, t )$ es una matriz

$$ Q_{ij} = -x_i V_j P +D x_i \partial_j P - D P \delta_{ij} $$

Por lo tanto, la corriente de difusión $J^i_d$ contribuye sólo si hay algunas condiciones de contorno no triviales (como condiciones de contorno reflectantes en un lado pero condiciones de contorno abiertas en algún otro lado de $\partial\Omega$ ).

En condiciones límite periódicas (o si $\Omega = \mathbb{R}^3$ ) no tienes límites $\partial \Omega$ y sólo la integral de la corriente de advección sobre $\Omega$ contribuye a la velocidad media $\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle$ .

NOTA: el único problema de esto es cuando $P$ se relaja hasta alcanzar un estado estable. Si esto ocurre, la velocidad asociada al centro de masa es cero (simplemente porque $\partial_t P = 0$ ), sin embargo, las partículas pueden seguir fluyendo (por ejemplo, un estado estacionario en condiciones de contorno periódicas: el centro de masa está fijo pero las partículas pueden fluir). Por lo tanto, al menos cuando se utilizan condiciones de contorno periódicas, lo mejor es simplemente definir la velocidad media directamente como $\langle \mathbf{V} \rangle $ .