¿Puede alguien ayudarme a entender esta demostración de una versión modificada del teorema de Brouwer?

Question

Dejemos que $\Omega \subset\mathbb{R}^n$ y $\Gamma \subset\mathbb{R}^m$ sean dos conjuntos abiertos y no vacíos. Si existe un homeomorfismo $h: \Omega \to \Gamma$ entonces $n=m$ .

Prueba del caso para $m =1$ (la parte en cursiva es hasta donde pude seguir los pasos de la prueba, la negrita es donde me perdí):

Dejemos que $P \in \Omega$ . Desde $\Omega$ está abierto en $\mathbb{R}^n$ existe $r> 0$ , tal que la bola de centro $P$ y el radio $r$ , $B_r(P)$ se cointan en $\Omega$ . Desde $B_r(P)$ está conectado y $h$ es un homeomorfismo, entonces $h(B_r(P))$ es un conjunto abierto conectado de $\mathbb{R}$ es decir, un intervalo abierto, digamos, $(a,b)$ . Sea $c \in (a, b)$ y que $Q \in B_r(P)$ , de tal manera que $h(Q) = c$ . Por lo tanto, $(a,b) - \{c\}$ no es un conjunto conectado de $\Gamma$ y, de nuevo, porque $h$ es un homeomorfismo, tenemos que $B_R(P) - \{Q\}$ tampoco está conectado, lo que sólo es posible cuando $n=1$ .

La parte en cursiva estaba bien, como dije antes. Pero no entiendo ninguna de las otras conclusiones. Estaría muy agradecido por cualquier ayuda en este sentido.

Actualización: Ya veo por qué $(a,b)-\{c\} = h(B_r(P)) - \{h(Q)\}$ no está conectada, y creo que la conclusión se deduce porque $B_R(P) - \{Q\}$ es la imagen de la inversa de $h$ y, por lo tanto, tampoco está conectado. ¿Es esto correcto? Si no lo es, ¿por qué (entonces cómo se deduce la conclusión?)?

Aclaración: el libro que estoy usando presenta esto como el teorema de Brower por alguna razón (lo busqué y no veo la relación, pero de todos modos...), así que esa es la razón del título.

Answer 1

Desde $B_r(P)$ es convexo y $h$ es un homeomorfismo, entonces $h(B_r(P))$ es un conjunto abierto convexo de $\mathbb{R}$ es decir, un intervalo abierto, digamos, $(a,b)$ .

Esta parte es bastante confusa: la convexidad de $h(B_r(P))$ tiene que ver con la convexidad de $B_r(P)$ sólo por la virtud de que los conjuntos convexos son conexos, la imagen de un conjunto conexo es conexa y los subconjuntos abiertos conexos de $\mathbb{R}$ son intervalos. Definitivamente no es cierto que la imagen de un conjunto convexo sea convexa en general.

Por eso el resto de la prueba es completamente errónea. La convexidad no es preservada por los homeomorfismos.

Sin embargo, si se sustituye "convexo" por "conectado", la prueba funciona bien.

Y, por cierto, está bien llamarlo teorema de Brouwer, pero se podría calificar como teorema de invariancia de dominio de Brouwer, para distinguirlo de otro famoso teorema de Brouwer (punto fijo).

Actualización: Tras la actualización (sustituyendo "convexo" por "conectado"), la prueba funciona. La parte en negrita es cierta, porque si $h$ es un homeomorfismo, también es en particular un homeomorfismo entre $B_r(P)$ y $(a, b)$ y, por tanto, también entre $B_r(P)$ con un punto eliminado y $(a, b)$ con un punto eliminado. Sin embargo, estos dos espacios no son homeomorfos: al eliminar cualquier punto de $(a, b)$ hace que se desconecte, mientras que no tiene sentido $B_r(P)$ de tal manera que al quitarlo se desconectaría.

Answer 2

Esto es un comentario, pero probablemente demasiado largo para ser un comentario. ¿Ha copiado la prueba correctamente? ¿Es posible que haya cometido un error de traducción?

Una bola menos un punto en un espacio euclidiano nunca es convexa, y la convexidad no es el concepto relevante aquí. El concepto relevante es que si se elimina un punto de un intervalo en $\mathbb R$ El conjunto resultante ya no es conexo, pero si se elimina un punto de una bola en un espacio euclidiano de mayor dimensión, el resultado sigue siendo conexo.