Estoy estudiando la construcción de la categoría de homotopía estable motivacional de los esquemas $\mathbf{SH}(S)$ tras el documento de Riou Categoría homotópica estable de un sitio suspendido con intervalo (haga clic para ver el artículo) y tengo un problema debido a mi debilidad en la teoría de la homotopía.
Riou demuestra que $\mathbf{SH}(S)$ es una categoría triangulada a partir de un resultado de Quillen en su libro Álgebra homotópica . El resultado que utiliza Riou es el siguiente ( Véase. Corollaire 3.4 en el documento de Riou)
Corolario 3.4: Dejemos que $C$ sea una categoría de modelos puntuales y sea $H$ sea su categoría de homotopía. Supongamos que el functor de suspensión $\Sigma \colon H\rightarrow H$ es una autoquivalencia de categorías. Entonces $H$ es una categoría triangulada.
Riou demuestra entonces que $\mathbf{SH}(S)$ es una categoría triangulada en el siguiente resultado (lo expongo para el caso de la categoría de homotopía estable de esquemas):
Teorema 3.10: Recordemos que existe un isomorfismo $\mathbb{P}^1\simeq S^1\wedge \mathbb{G}_m$ en $H_\bullet (S)$ . Entonces el functor $\underline{\phantom{a}}\wedge S^1\colon \mathbf{Spt}^{\mathbb{P}^1}\to \mathbf{Spt}^{\mathbb{P}^1}$ induce una equivalencia de categorías $\mathbf{SH}(S)\rightarrow \mathbf{SH}(S)$ . La categoría $\mathbf{SH}(S)$ es, por tanto, canónicamente triangulada.
Lema 3.11: Si el functor de suspensión $\mathbf{SH}^{S^1}(S)$ es una equivalencia de categorías entonces también lo es la suspensión en $\mathbf{SH}^{S^1\wedge\mathbb{G}_m}(S)=\mathbf{SH}(S)$ .
Asume que el functor de suspensión en $\mathbf{SH}$ es $\underline{\phantom{a}}\wedge \mathbb{P}^1\colon \mathbf{Spt}^{\mathbb{P}^1}\to \mathbf{Spt}^{\mathbb{P}^1}$ . Mi pregunta es la siguiente:
Pregunta: La suspensión de Quillen en una categoría modelo $C$ es una muy concreta que define en términos de la estructura del modelo ( Véase. I.2 Teorema 2 de Álgebra homotópica ) Es natural esperar que la suspensión en $\mathbf{SH}$ es $\underline{\phantom{a}}\wedge \mathbb{P}^1$ . Pero: por qué el functor de suspensión de Quillen $\underline{\phantom{a}}\wedge \mathbb{P}^1$ en $\mathbf{SH}(S)$ ? ¿Cómo se puede demostrar tal cosa?
Muchas gracias de antemano por su tiempo y ayuda.
