Superficies de Riemann a partir de la idea de Weierstrass (como función analítica completa)

Question

Actualmente estoy leyendo algunos libros de texto sobre superficies de Riemann, principalmente el libro de Donaldson. En el libro de Donaldson (y en algún otro libro bastante reciente), la mayoría de las superficies de Riemann parecen estar construidas al estilo de las "curvas algebraicas" o algún estilo de espacio cociente, que parece bastante geométrico.

Pero en algunos libros más antiguos como el libro de Ahlfors Análisis Complejo o la introducción a las superficies de Riemann de George Springer, dan una visión constructiva de las superficies de Riemann a través del "germen/hoja de funciones analíticas" o la analítica completa. De esta manera parece bastante más fácil manejar alguna función "trascendental" como $w=\sqrt{z} + \log(z)$ .

Y algunas preguntas relacionadas que encontré:

• Sobre la superficie de Riemann asociada a un germen analítico
• Comprensión de la superficie de Riemann

Así que tal vez mi pregunta se pueda resumir en:

1. ¿Existe algún libro de texto nuevo que vea las superficies de Riemann de forma exhaustiva desde este punto? (los dos libros de Ahfors y George Spring son bastante antiguos)
2. ¿Por qué la mayoría de los libros de texto modernos sobre superficies de Riemann ya no tratan este punto de vista? ¿Cómo manejamos una superficie de Riemann como $w=\sqrt{z} + \log(z)$ ¿en una visión moderna?
3. ¿Es porque la función analítica completa es bastante difícil de calcular? Entiendo que es difícil usar series de potencia para hacer la continuación analítica. Pero parece que no es tan difícil hacer la continuación analítica "instructiva".

Perdón por la pregunta un poco blanda, ¡gracias!

Answer 1

1. No lo creo.

2 y 3: Esto es sobre todo una cuestión de moda y de gusto de las personas que escriben los libros de texto modernos. Los libros modernos sobre superficies de Riemann están escritos en su mayoría por geómetras y no por analistas, lo que se refleja en el consiguiente descuido de las funciones multivaluadas. Como ejemplo de uso del punto de vista "moderno" (geométrico o topológico, si lo desea) sobre las superficies de Riemann para responder a las preguntas que tratan de las funciones multivaluadas, consulte mi respuesta aquí sobre el tratamiento de la función multivaluada desde el punto de vista de los espacios de cobertura.

Recuerdo haber respondido a una petición de MSE de referencias sobre funciones multivaluadas desde el punto de vista de la superficie de Riemann hace un tiempo, pero no lo encuentro. Mi recuerdo es que también me decanté por Ahlfors y Springer. Quizá también Forster, en relación con los gérmenes de las funciones analíticas, pero su libro también es antiguo.