Integrar $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

Question

Evaluar $$\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

Hoy he tenido esta pregunta en mi examen de cálculo y no tengo ni idea de cómo se hace. Estaba tratando de factorizar 4-x² para ver si podía ver algún patrón, pero no hubo suerte.

Una cosa que noté fue que $$\frac{d}{dx}(\arcsin(x)) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

Answer 1

Debes tener en cuenta que siempre que tengas una fórmula, y esta difiera de tu pregunta por una constante (como aquí 4 en lugar de 1), entonces puedes simplemente factorizarla, obteniendo $$ \int\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}}dx $$ Entonces puedes aplicar la fórmula que has averiguado, y resulta que la sustitución $$u=x/2$$ haría el trabajo.

Answer 2

Su observación es acertada. Dejemos que $x = 2\sin u$ para el $u$ -sustitución, y entonces se obtiene

$$ \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx \;\; =\;\; \int \frac{2\cos u}{2\sqrt{1 - \sin^2u}} du \;\; =\;\; u+ c $$

donde $c$ es constante. Entonces obtenemos $u = \sin^{-1}\left( \frac{x}{2}\right )$ .

Answer 3

Sugerencia Observe que

$$\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{1-\left( \frac{x}{2}\right) ^{2}}}$$

Esto le indicará la posible sustitución que debe utilizar o reconocer inmediatamente la respuesta.

Añadido . Si se utiliza la sustitución intuitiva $u=\frac{x}{2},du=\frac{1}{2}dx $ , se obtiene

$$\begin{aligned}\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx&=\int\frac{1}{2\sqrt{1-\left( \frac{x}{2}\right) ^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du=\arcsin(u)+C\\&=\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+C.\end{aligned} $$

Answer 4

Sustituir $x=2\cos(\theta)$ .

Tenga en cuenta que $dx=-2\sin(\theta)d\theta$

Aproveche también el hecho de que $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$