Una categoría puede ser considerado como un conjunto con ciertas operaciones algebraicas. Por lo tanto podemos definir un objeto de la categoría en una categoría como un objeto de grupo. Es esta noción de utilidad? ¿Hay alguna investigación sobre ellos?
Respuestas
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Cagri
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Yo no diría que una categoría puede ser considerado como un conjunto; de hecho, ciertamente no se puede a menos que sea pequeño. Pero no es eso lo que estás preguntando. Creo que la cosa más cercana a lo que usted está preguntando acerca de la noción de un interno de la categoría, que existe en todas las categorías con pullbacks.
Si $\mathcal{C}$ ha pullbacks, a continuación, un interno de la categoría en $\mathcal{C}$ está dada por:
- dos objetos de $C_0, C_1$, que puede considerarse como el 'objeto de los objetos' y 'objeto de flechas, respectivamente;
- flechas $c, d : C_1 \rightrightarrows C_0$, que puede considerarse como el 'codominio de la flecha" y "dominio de flecha', respectivamente;
- una flecha $i : C_0 \to C_1$, que puede considerarse como la " identidad de flecha flecha; y
- $m : C_1 \times_{C_0} C_1 \to C_1$, que se puede considerar como la composición de flecha".
Estas flechas en $\mathcal{C}$ interactuar de acuerdo a cómo usted esperaría que de acuerdo a la categoría de axiomas.
Para más información, consulte nCatLab.
Usted puede definir la categoría de objetos en una categoría con suficiente pullbacks. Esto es muy útil y se llama "interno de la categoría de teoría". Los fundamentos se explican en http://ncatlab.org/nlab/show/internal+categoría. Más generalmente, se puede definir categorías interna a una categoría monoidal adecuada colocación de pullbacks por cotensors. Esto se explica en http://ncatlab.org/nlab/show/internal+categoría+en+un+monoidal+categoría
De manera más general, pero no escrito en ninguna parte que yo sepa, es la capacidad para definir las categorías internas para operads con contensors. Más general aún, uno puede definir operads interna para operads con cotensors.
Aleksandr Levchuk
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La gente ya se mencionó que este es un llamado interno de la categoría y se define de la manera obvia, así que permítanme explicar un par de aplicaciones.
Teorema. Deje $\mathcal{E}$ $\mathcal{S}$ elemental toposes y supongamos $p : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ es un delimitada geométrica de morfismos. Entonces existe un interno de la categoría $\mathbb{C}$ $\mathcal{S}$ y una factorización de $p$ $$\mathcal{E} \longrightarrow [\mathbb{C}^\textrm{op}, \mathcal{S}] \longrightarrow \mathcal{S}$$ donde $[\mathbb{C}^\textrm{op}, \mathcal{S}]$ denota el topos de la interna presheaves en $\mathbb{C}$$\mathcal{S}$, donde el geométrica de morfismos $\mathcal{E} \to [\mathbb{C}^\textrm{op}, \mathcal{S}]$ es un geométrica de inclusión.
Prueba. Véase El §B3.3 en los Bocetos de un elefante.
En otras palabras, Giraud del teorema de caracterización de Grothendieck toposes puede ser matizadas a la base de toposes – y en la manera más enérgica posible, porque no necesitamos suponer que $\mathcal{S}$ es cocomplete o booleano, o algo como $\textbf{Set}$ a todos.
Otra aplicación puede ser encontrado en Janelidze categóricos de la teoría de Galois: en buenas condiciones, la categoría de "álgebras de división" en una categoría (contravariantly) equivalente a la categoría de internos presheaves interno groupoid en otra categoría. Por ejemplo,
Teorema. Deje $\sigma : R \to S$ ser un Galois descenso de morfismos de anillos, y deje $\textrm{Gal}(\sigma)$ la correspondiente Galois groupoid en la categoría de profinite espacios. A continuación, la categoría de $R$-álgebras de división por $\sigma$ es contravariantly equivalente a la categoría de internos presheaves en $\textrm{Gal}(\sigma)$ en la categoría de profinite espacios.
Prueba. Ver Teorema 4.7.15 en [Categórica de la teoría de Galois].
También, voy a mencionar que Bénabou trabajado en cómo definir la noción de un local interno de la categoría, que es algo más complicado. Esto se puede encontrar en el §B2.2 de Bocetos de un elefante.
