Me pregunto si existen clases interesantes de variedades hiperbólicas incompletas. En particular, ¿hay alguna familia interesante con torsión (es decir, un subgrupo cíclico en $\pi_1$ )? Hay orbifolds con torsión, pero no es lo que busco. Intenté adaptar la construcción para espacios de lentes al caso hiperbólico y me sugirieron tomar copias de orbifolds y eliminar un punto, pero ninguno de los dos parece funcionar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí una clase de ejemplos interesantes (todos son desorientables). Empezamos con la "simetría central" de la bola unitaria abierta ${\mathbb B}^3$ : $$ s: {\mathbf x}\mapsto -{\mathbf x}. $$ El mapa $s$ tiene un único punto fijo, el origen $0$ . Voy a equipar ${\mathbb B}^3$ con la métrica hiperbólica estándar. El cociente $({\mathbb B}^3- \{0\})/s$ es una variedad hiperbólica incompleta cuyo grupo fundamental es cíclico finito, de orden 2.
Ahora, imaginemos que tenemos un subgrupo discreto más complicado (infinito) $\Gamma$ de isometrías del espacio 3 hiperbólico que contiene conjugados de $s$ y ningún otro elemento de orden finito no trivial. Entonces, eliminando de ${\mathbb B}^3$ el conjunto (discreto) de puntos fijos de elementos de orden 2 en $\Gamma$ obtenemos una variedad riemanniana incompleta $X$ el cociente $X/\Gamma$ es una variedad hiperbólica incompleta $M$ cuyo grupo fundamental contiene infinitos elementos de orden $2$ . Puedes pensar en $M$ tal y como se obtiene de un orbifolio hiperbólico completo mediante la eliminación de puntos cónicos (aislados).
Véase también mi respuesta aquí .
