Creo que lo que querías preguntar es si es cierto que el adjunto formal de $\nabla$ aplicada a cualquier rastro libre $(1,1)$ -tensor se desvanece. (A $(1,1)$ -tensor tiene un adjunto formal como endomorfismo lineal, pero que no es un operador diferencial).
La respuesta es no.
Es cierto que $\operatorname{tr} \nabla_X A = \nabla_X \operatorname{tr} A$ pero esto no tiene nada que ver con $\nabla^*$ . El adjunto formal de $\nabla$ actuando en $A$ es $\nabla^* A = - \operatorname{tr} (\nabla A)$ no $-\operatorname{tr} \nabla_X A$ . Si se adopta la convención de que la nueva posición de índice introducida por $\nabla$ es el último, entonces esta traza se toma en los dos últimos índices de $\nabla A$ -- uno de los índices originales de $A$ y la nueva introducida por la diferenciación. En notación de índices, esto es $$ (\nabla^* A)_i = - A^j_{i;j}. $$
Por otro lado, también puede considerar $\nabla(\operatorname{tr} A) = \operatorname{tr}(\nabla A)$ pero en este caso, el rastro está en el los dos primeros índices de $\nabla A$ , es decir, los dos índices originales de $A$ antes de la resultante de la diferenciación. En notación de índices, $$ \big(\nabla(\operatorname{tr} A)\big)_i = A^j_{j;i} = 0. $$ Como puede ver, el " $\operatorname{tr}$ "es ambigua - siempre hay que ser explícito sobre los índices que se están trazando (o decorar el símbolo de trazado con números, como en $\operatorname{tr}_{12}$ o $\operatorname{tr}_{23}$ ).
