¿Es correcta esta demostración de una condición necesaria para que un elemento pertenezca al límite?

Question

Hola soy nuevo en la construcción de una prueba matemática en topología y quiero saber si este argumento es sólido. Soy autodidacta y agradezco toda ayuda. Sólo voy a hacer la afirmación positiva aquí.

John Lee Introducción a los colectores topológicos. 2.8 (c)

Un punto está en $\partial A$ si toda su vecindad contiene un punto de $A$ y un punto de $X \setminus A$ .

Supongamos que $x \in \partial A$ y que $U$ es una vecindad de $x$ ( $x \in U$ ).

$\Rightarrow x \in X\setminus \{Int(A) \cup Ext(A)\}$

$\Rightarrow \underbrace{x \notin Int(A)}_1$ y $\underbrace{x \notin Ext(A)}_2$

$1\Rightarrow x \in X \setminus Int(A)$

y como inicialmente se definió $x\in U$ , $\Rightarrow X\setminus Int(A) \subseteq U$

y como $X \setminus A \subseteq X\setminus Int(A)$

(que proviene de la definición de interior

$Int(A) = \bigcup \{C\subseteq X : C \subseteq A$ y $C$ está abierto $\}$

entonces observando desde la defn de interior, $Int(A) \subseteq A$ )

puede decir que $X \setminus A \subseteq U$ por lo que la vecindad debe contener todos los puntos de $X\setminus A$ suponiendo que no esté vacío.

Todavía tengo que hacerlo por un punto en el set $A$ y luego demostrar que la afirmación inversa es verdadera.

Mi pregunta es, básicamente, ¿tiene esto sentido hasta ahora?

Answer 1

Parece (no tengo el libro de Lee) que él define el $\partial A$ como $X \setminus (\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Ext}(A))$ , donde $\operatorname{Int}(A)$ se define como $\bigcup\{O \subseteq X: O \subseteq A \text{ and } O \text{ is open}\}$ y presumiblemente, $\operatorname{Ext}(A) = \operatorname{Int}(X \setminus A)$ .

En primer lugar, de $x \in U$ y $x \in X \setminus \operatorname{Int}(A)$ no concluimos que $X \setminus \operatorname{int}(A) \subset U$ . Pero sabemos, como $U$ está abierto y contiene $x$ no podemos tener eso $U \subseteq A$ porque eso implicaría que $U$ es uno de los conjuntos abiertos que comprende $\operatorname{Int}(A)$ (véase la definición) y esto significaría en particular que $x \in \operatorname{Int}(A)$ Lo que sabemos que no es el caso.

Así que sabemos $U \nsubseteq A$ lo que significa exactamente que $U$ contiene un punto de $X \setminus A$ .

Ahora, de manera similar, no podemos tener que $U \subseteq X \setminus A$ ya que esto implicaría $x \in \operatorname{Ext}(A)$ . Y esto significa exactamente que $U$ se cruza con $A$ .