Clases de conjugación finitas de subgrupos finitos de orden dado

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo periódico localmente soluble con p-subgrupos Sylow finitos para todos los primos p.

Se sabe que en estas condiciones $G$ es residualmente finito. Además se puede demostrar que $G$ sólo tiene un número finito de clases de conjugación de subgrupos finitos de orden determinado.

Dejemos que $L$ sea un subgrupo de $G$ tal que $L=HN$ , donde $H$ es un subgrupo finito de $G$ y $N$ es un subgrupo normal de $G$ .

Por qué el índice $|N_G(L):N_G(H)N|$ es finito? Sé que esto es cierto ya que esto se afirma en el Lemma 1.6 del documento "Locally inner endomorphisms of SF-Groups" de Belyaev

Answer 1

Se sabe que sólo hay un número finito de clases de conjugación de subgrupos de $HN$ que son isomorfas a $H$ .

Supose $g_1,g_2 \in N_G(L)$ y $H^{g_1}$ y $H^{g_2}$ están en la misma clase de conjugación en $HN$ . Desde $g_1 \in N_G(L)$ tenemos $HN=H^{g_1}N$ por lo que existe $n \in N$ avec $H^{g_1n}=H^{g_2}$ Así que $g_1ng_2^{-1} = g_1g_2^{-1}(g_2ng_2^{-1}) \in N_G(H)$ y por lo tanto, ya que $N$ es normal en $G$ , $g_1 \in N_G(H)Ng_2$ .

Así que el número de cosets de $N_G(H)N$ en $N_G(L)$ es como máximo igual al número de clases de conjugación de los subgrupos de $HN$ que son isomorfas a $H$ , que es finito.