Problema integral de Análisis Funcional

Question

Estoy intentando resolver un ejemplo de mi curso,

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Demostrar que para cualquier $0<p<1$ existe una secuencia de funciones $(f_{i})_{i=1}^{\infty}$ en $C^{\infty}_{0}$ ( $[-1,1]$ ) tal que,

$$lim_{i \to \infty}=\int_{\mathbb{R}} |\frac{df_{i}}{dx}(y)|^{p}dy=0$$

y para cualquier $x \in (-1,1)$ tenemos que se cumple lo siguiente $$lim_{i \to \infty}f_{i}(x)=1$$

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Para solucionarlo primero pensé en el DCT pero claramente no sirve,

Así que ahora estoy pensando

-quizás tenga que usar eso $C^{\infty}_{0}$ es denso en $L_{p}$ espacios

-o utilizar una función de prueba común como $e$ a algún poder?

Se agradece mucho la ayuda, estoy muy atascado

Answer 1

Dejemos que $\phi: \mathbb R^+ \to [0,1]$ suave, $\epsilon>0$

• $\phi(x) = 0$ para todo x $\leq \epsilon$ ,

• $\phi(x) = 1$ para todos $x \geq 1$ y

• $\phi'(x) \leq 2$ para todos $x\in \mathbb{R}^+$ .

Para $x\in [-1,1]$ ahora definimos $$f_i(x) := \phi(i (1-x^2)).$$ Ahora, sólo tenemos que comprobar las propiedades solicitadas. Evidentemente, si $x \in (-1,1)$ , $i \to \infty$ entonces $\phi(i (1-x^2))$ va a 1 por la segunda propiedad de $\phi$ . Además, $f_i$ es suave y tiene un soporte compacto por construcción.

Ahora veamos las integrales. Aquí es esencial que $p< 1$ . $$\int_{[-1,1]} |f_i'(y)|^p dy = \int_{[-1,1]} |\phi'(i (1-y^2)) 2 y i |^p dy.$$ Por supuesto, tenemos que $\phi'(x)= 0$ para todos $x \geq 1$ . Esto implica que $$\int_{[-1,1]} |\phi'(i (1-y^2)) 2 y i |^p dy = \int_{(1-y^2)\leq \frac{1}{i}, |y|\leq 1} |\phi'(i( 1-y^2)) 2 y i |^p dy \leq (4 i)^p \int_{(1-y^2)\leq \frac{1}{i}, |y|\leq 1} dy \leq (4 i)^p \int_{(1-|y|)\leq \frac{1}{i}, |y|\leq 1} dy \leq 2 (4 i)^p /i.$$ En consecuencia, tenemos que $$\int_{[-1,1]} |f_i'(y)|^p dy \leq C i^p/i,$$ para alguna constante $C>0$ que termina la prueba.

Answer 2

Lo primero que hice fue conectar los puntos del plano $(-1,0),(-1+1/n,1), (1-1/n,1),(1,0)$ con segmentos de línea, aquí pensando en $n$ tan grande. Se tiene entonces la gráfica de un $f_n$ en $[-1,1]$ para los que los cálculos son fáciles. Obsérvese que $|f_n'|=n$ en los intervalos a la izquierda y a la derecha, con $f_n'=0$ en el medio. Así,

$$\int_{-1}^1|f_n'|^p = 2 \cdot n^p\cdot \frac{1}{n}= 2n^{p-1} \to 0\,\, \text { as } n\to \infty.$$

La secuencia $f_n\to 1$ en punto a $(-1,1),$ así tenemos nuestro ejemplo. Excepto que estos $f_n$ no son suaves.

Resulta que no hay que hacer mucho para encontrar un $f_n$ como el anterior. Supongamos que $f$ es suave en $[a,b],$ y $f$ aumenta de $0$ a $1$ en $[a,b].$ Entonces

$$\tag 1 \int_a^b(f')^p \le (b-a)^{1-p}.$$

Prueba: Por Holder y la FTC,

$$\int_a^b (f')^p = \int_a^b(f')^p\cdot 1 \le (\int_a^b f')^{p}(\int_a^b 1^{1/(1-p)})^{1-p} = 1\cdot (b-a)^{1-p}.$$

Por supuesto, también hay una versión de $(1)$ para disminuir $f.$

Esto implica que toda secuencia de versiones suaves de la $f_n$ arriba funcionará. Así, para $n=2,3,\dots$ dejar $f_n\in C^\infty(\mathbb R)$ sea tal que $f_n(x)=0$ para $|x|\ge 1,$ $f_n$ aumenta de $0$ a $1$ en $[-1,-1+1/n],$ $f_n=1$ en $[-1+1/n,1-1/n],$ y $f_n$ disminuye de $1$ a $0$ en $[1-1/n,1].$ Entonces $f_n\to 0$ en punto a $(-1,1),$ y $(1)$ (y su primo decreciente) implican

$$\int_{-1}^1 |(f_n)'| \le 2n^{1-p} \to 0.$$