Obtener la cota superior del integrando no negativo no creciente $f(t)$ desde el límite de su integral $\int_{0}^\infty f(t)dt \le W$ .

Question

Dejemos que $f:[0,\infty) \mapsto [0, 1]$ sea una función no creciente y $W > 0$ sea tal que

$$ \int_{0}^\infty f(t)dt \le W. \tag{1} $$

Objetivo. Busco límites superiores no triviales en $f(t)$ .

Es fácil deducir que

$$ f(t) \le \frac{W}{t},\forall t > 0. \tag{2} $$ De hecho, para cada $t > 0$ tenemos $tf(t) \le \int_0^tf(s)ds \le \int_0^\infty f(s)ds \le W$ .

Pregunta. Aparte de la desigualdad (2), ¿existen límites superiores no triviales para $f(t)$ que se puede obtener de (1) ?

Answer 1

Para $t > W$ no hay un límite superior mejor para $f(t)$ . Se puede pensar en la siguiente función \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} W/t\qquad \text{if } x \in [0, t],\\ 0 \hspace{3.5em} \text{if } x > t. \end{cases} \end{equation*} Satisface su condición con $f(t) = W/t$ .

Para $t < W$ el mejor límite superior viene dado por $1$ (ya que $W/t > 1$ ). En resumen, el límite superior óptimo para $f$ es $$f(t) \leq 1 \wedge W/t.$$

Además, creo que este límite óptimo no cambiará incluso si se asume que $f$ es continua.