¿Por qué esta secuencia es exacta?

Question

En Altman-Kleinman "Introducción a la teoría de la dualidad de Grothendieck", página 105, está el siguiente teorema:

¿Por qué la secuencia subrayada es exacta? Y entonces, por qué de eso podemos concluir que $coker(\delta)$ ¿es el diferencial de kahler?

Answer 1

Por definición, $\text{coker }\delta$ encaja en la secuencia exacta $$I/I^2 \overset{\delta}\longrightarrow \Omega^1_{A/k}\otimes_A B \longrightarrow \text{coker }\delta \longrightarrow 0$$ y por lo tanto por la exactitud de la izquierda del functor contravariante $\text{Hom}_B(-,M)$ para un $B$ -Módulo $M$ tenemos una secuencia exacta $$0\longrightarrow \text{Hom}_B(\text{coker }\delta, M)\longrightarrow \text{Hom}_B(\Omega^1_{A/k}\otimes_A B, M)\longrightarrow \text{Hom}_B(I/I^2,M)$$ Ahora $M$ también tiene la estructura de un $A$ -a través del mapa de cociente $A\to B$ . Por adición tensorial-Hom, tenemos $$\text{Hom}_B(\Omega^1_{A/k}\otimes_A B, M)\cong \text{Hom}_A(\Omega^1_{A/k},\text{Hom}_B(B,M)) \cong \text{Hom}_A(\Omega^1_{A/k},M)$$ (también podrías convencerte de este isomorfismo directamente). Dado que $\text{Hom}_A(\Omega^1_{A/k},M) = \text{Der}_k(A,M)$ (por la propiedad universal que define $\Omega^1_{A/k}$ en términos de derivaciones), esto le da la secuencia exacta deseada.

Ahora existe un isomorfismo $$\text{Hom}_B(\text{coker }\delta,M) \cong \text{Der}_k(B,M) \cong \text{Hom}_B(\Omega^1_{B/k},M)$$ para todos $B$ -módulos $M$ , funcionales en $M$ (comprueba esto). El lema de Yoneda establece entonces que $\text{coker }\delta$ y $\Omega^1_{B/k}$ debe ser isomorfo como $B$ -módulos.