¿Cuáles son las ramificaciones del hecho de que el primer grupo de homotopía puede ser no conmutativo, mientras que los grupos de homotopía superiores no pueden serlo?

Question

¿Significa esto que el primer grupo homotopía en algún sentido contiene más información que los grupos homotopía más altos? ¿Existe otra generalización del grupo fundamental que pueda dar lugar a grupos no conmutativos de tal manera que estos grupos contengan más información que los grupos homotópicos superiores?

Answer 1

Un hecho geométrico del cual la no conmutatividad del grupo fundamental es el siguiente: dos objetos en una línea no pueden cambiar la posición relativa (es decir, izquierda y derecha) a través de la homotopía, ya que son incapaces de "pasar" entre sí. Dos objetos en un espacio dimensional más alto pueden, sin embargo; tan intuitivamente, parece que una teoría de homotopía basada en mapeos de $I^n$ será naturalmente abeliana para $n \ge 2$.