Descomposición directa de grupos

Question

Un grupo $G$ se llama directamente irreducible si $G \simeq A \times B$ implica $G \simeq A$ o $G \simeq B$ . Busco la demostración del siguiente teorema:

• Si $G = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n \simeq H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_m$ , donde el $G$ y $H$ son grupos directamente irreducibles, y la red de congruencias sobre $G$ tiene longitud finita (satisface tanto ACC como DCC), entonces $n = m$ y existe una permutación $\sigma \in S_n$ tal que $G_i \simeq H_{\sigma(i)}$ .

Una prueba, o una referencia a una prueba, sería muy apreciada.

Me han dicho que hay una prueba que implica la Teorema de Kurosh-Ore en redes modulares. Esta es específicamente la prueba que estoy buscando, pero cualquier cosa servirá, gracias.

Answer 1

Esto acaba de ser cierto. Existe un grupo $G$ y grupos "directamente irreducibles" $A, B, C, D$ tal que $G$ es isomorfo a ambos $A \times B$ y $C \times D$ siendo estas descomposiciones directas no isomorfas. Véase, por ejemplo $\S$ 42 en A.G. Kurosh, The theory of groups, Volume two, second english edition, traducido por K.A. Hirsch, AMS Chelsea Publishing, 1960.

Si están dispuestos a disculpar mi francés, vean también este y otros ejemplos en Y. Cornulier y P. de la Harpe, Décompositions de groupes par produit direct et groupes de Coxeter, en Geometric group theory, 75-102, Trends in Math., Birkhäuser, Basel, 2007.

Answer 2

La referencia obligatoria es Álgebras, retículos y variedades (vol. I) de McKenzie, McNulty y Taylor. En la sección 2.3 comienzan con el tema, y Kurosh-Ore es el teorema 2.33. Todo el capítulo 5 está dedicado a la factorización única, y podría interesarle la sección 5.3.

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(Esto era un comentario a la pregunta que aparentemente es respuesta satisfactoria al OP, así que lo vuelvo a publicar como tal).