Encuentra el campo vectorial asociado a $(u+2y)u_{x}+uu_{y}=0$ .

Question

Encontrar el campo vectorial asociado a la EDP y definir una parametrización de la curva que defina una condición de frontera $$(u+2y)u_{x}+uu_{y}=0$$ con $u(x,1)=\frac{1}{x}$ .

Mi enfoque: Considere la siguiente ecuación lineal de primer orden $$a(x,y)u_{x}+b(x,y)u_{y}=c(x,y)$$ Supongamos que podemos encontrar una solución $u(x,y)$ . empecemos por construir una curva $C$ parametrizado por $s$ tal que en cada punto de la curva $C$ el vector $(a(x(s), y(s)), b(x(s), y(s)), c(x(s), y(s)))$ es tangente a la curva. En particular, $$\frac{dx}{ds}=a(x(s),y(s))$$ $$\frac{dy}{ds}=b(x(s),y(s))$$ $$\frac{dz}{ds}=c(x(s),y(s))$$

Que son la curva integral para $(a(x, y), b(x, y), c(x, y))$ . Así, el campo vectorial viene dado por $V=(a(x,y),b(x,y),c(x,y))$ ? En este caso, tenemos $V=(u+2y,u,0)$ ?

¿Y cómo definir la curva parametrizada que define la condición de contorno?

Answer 1

$$(u+2y)u_{x}+uu_{y}=0\tag 1$$ Estoy de acuerdo con $$V=(u+2y,u,0)$$ Así, su sistema de ecuaciones diferenciales es $$\frac{dx}{ds}=a(x(s),y(s))=u+2y$$ $$\frac{dy}{ds}=b(x(s),y(s))=u$$ $$\frac{du}{ds}=c(x(s),y(s))=0$$ un escrito corto es : $$\frac{dx}{u+2y}=\frac{dy}{u}=\frac{du}{0}=ds$$ Una primera curva característica proviene de $du=0$ desde $u$ es finito. Así, $u=c_1$ .

Una segunda curva característica proviene de $\frac{dx}{c_1+2y}=\frac{dy}{c_1}$ que integrando lleva a : $$c_1y+y^2-c_1x=c_2$$ La solución general de la EDP $(1)$ expresado en la forma de la ecuación implícita es : $$\Phi\left(c_1,c_2 \right)=\Phi\left(u\:,\:uy+y^2-ux \right)=0$$ donde $\Phi$ es cualquier función de dos variables.$

O lo que es lo mismo: $$u=F\left(uy+y^2-ux \right) \tag 2$$ donde $F$ es una función arbitraria.

CONDICIÓN LÍMITE :

$u(x,1)=\frac{1}{x}=F\left(\frac{1}{x}+1^2-\frac{1}{x}x \right)$ . $$\frac{1}{x}=F\left(\frac{1}{x} \right)$$ . Así, la función $F$ se determina : $\quad F(X)=X$

Poniendo esta función $F(X)=X$ en la solución general $(2)$ donde $X=uy+y^2-ux $ lleva a $$u=uy+y^2-ux $$ Entonces, resolviéndolo para $u$ : $$u=\frac{y^2}{1-y+x}$$ que es la solución particular de la EDP que se ajusta a la condición de contorno.