Un espacio topológico $X$ es compacto si: para cada cobertura de $X$ con conjuntos abiertos existe un subcubrimiento finito. Se quiere demostrar que esta propiedad es equivalente a: para toda familia de conjuntos cerrados tal que toda subfamilia finita tiene intersección no vacía entonces la intersección de toda la familia era no vacía.
La equivalencia es muy sencilla: para pasar de un enunciado a otro basta con pasar al complementario de conjuntos.
Así que: Abrir se convierte en cerrado , unión se convierte en intersección , cubriendo se convierte en intersección vacía . Con esta traducción se obtiene la equivalencia deseada.
Formalmente. La compacidad significa que para cada familia $\mathcal R$ de conjuntos abiertos: $$ \bigcup \mathcal R = X \Longrightarrow \exists \text{finite}\ \mathcal R_0 \subset \mathcal R \colon \bigcup \mathcal R_0 = X $$ mientras que la otra propiedad es que para cada familia $\mathcal F$ de conjuntos cerrados: $$ \bigcap \mathcal F \neq \emptyset \Longleftarrow \forall\text{finite}\ \mathcal F_0\subset \mathcal F \colon \bigcap \mathcal F_0 \neq \emptyset $$
Puedes invertir la implicación negando ambos lados. De ahí que pasando al complementario (como se ha dicho antes) se obtiene la equivalencia.
