Espacios compactos y conjuntos cerrados (propiedad de intersección finita)

Question

Intento demostrar el siguiente teorema:

Un espacio topológico $X$ es compacto si para cada colección $\mathscr{C}$ de conjunto cerrado en $X$ con la propiedad de intersección finita (FIP), $\cap C$ de todos los elementos de $\mathscr{C}$ es no vacía

Puedo probar fácilmente la dirección hacia adelante pero estoy teniendo problemas con la dirección inversa, es decir, "no puedo probar que $X$ es compacto". Sé que hay que utilizar algún tipo de contraposición pero no estoy seguro de cómo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Un espacio topológico $X$ es compacto si: para cada cobertura de $X$ con conjuntos abiertos existe un subcubrimiento finito. Se quiere demostrar que esta propiedad es equivalente a: para toda familia de conjuntos cerrados tal que toda subfamilia finita tiene intersección no vacía entonces la intersección de toda la familia era no vacía.

La equivalencia es muy sencilla: para pasar de un enunciado a otro basta con pasar al complementario de conjuntos.

Así que: Abrir se convierte en cerrado , unión se convierte en intersección , cubriendo se convierte en intersección vacía . Con esta traducción se obtiene la equivalencia deseada.

Formalmente. La compacidad significa que para cada familia $\mathcal R$ de conjuntos abiertos: $$\bigcup \mathcal R = X \Longrightarrow \exists \text{finite}\ \mathcal R_0 \subset \mathcal R \colon \bigcup \mathcal R_0 = X$$ mientras que la otra propiedad es que para cada familia $\mathcal F$ de conjuntos cerrados: $$\bigcap \mathcal F \neq \emptyset \Longleftarrow \forall\text{finite}\ \mathcal F_0\subset \mathcal F \colon \bigcap \mathcal F_0 \neq \emptyset$$

Puedes invertir la implicación negando ambos lados. De ahí que pasando al complementario (como se ha dicho antes) se obtiene la equivalencia.