Demuestra la convergencia y calcula el límite: $\lim \limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=n}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}$

Question

Supongo que tiene algo que ver con las sumas de Riemann, pero esto es nuevo para mí.

$\displaystyle\lim \limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=n}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}$

¿Cómo empiezo?

Answer 1

Así: $$ \sum_{k=n}^{2n}\frac{k}{k^2+n^2}=\frac1n\sum_{i=0}^{n}\frac{1+\frac{i}n}{\left(1+\frac{i}n\right)^2+1}. $$

Answer 2

$$S_n = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{k}{k^2+n^2} = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{k/n}{(k/n)^2+1} \dfrac1n$$ Dejemos que $x_{k-n+1} = k/n$ entonces tenemos $$S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{x_k}{1+x_k^2} \Delta x_k$$ Debería poder relacionar la suma anterior con $$\int_1^2 \dfrac{x}{1+x^2} dx$$