Si, al negar una afirmación, y parte de esa afirmación es $3y = x$ , puedes decir simplemente $3y$ no $= x$ poniendo una línea a través del $=$ signo o hay otra forma de negar la afirmación?
La declaración fue "Para todos los $x$ existe un $y$ , de tal manera que $[(y>x) \land (x=3y)]$ ."
Que convertí en "Para todos los $x$ existe un $y$ tal que [ $(y\leq x) \lor (x \neq 3y)]$ ."
Pero estoy bastante seguro de que esa última parte es incorrecta, y tienes que negarla de otra manera
No, no basta con recortar el signo de igualdad. Consulte el artículo sobre la cuantificación universal aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification#Negation
Generalmente, entonces, la negación del universal de una función proposicional es una cuantificación existencial de la negación de esa función de esa función proposicional; simbólicamente:
Usted está tratando de negar $\forall x \exists y (y \gt x \wedge x=3y)$ Cuando se niega una frase cuantificada, la regla es cambiar el sentido del cuantificador d negar el contenido. Así que $$\lnot[\forall x \exists y (y \gt x \wedge x=3y)]\\ \Leftrightarrow \exists x \lnot\exists y (y \gt x \wedge x=3y)\\ \Leftrightarrow \exists x \forall y \lnot(y \gt x \wedge x=3y)$$
Gracias. Así que puedo llegar hasta aquí: $\forall x \exists y -(y<= x ^ ... )$ Pero, ¿qué ocurre con la x = 3y? *Debería haber añadido que tienes que escribir la ecuación sin ningún negativo.
Si $P(x)$ es una declaración sobre $x$ entonces $\neg \forall x P(x)$ equivale a $\exists x \neg P(x)$ no $ \forall x \neg P(x)$ . Por ejemplo, si digo "no es cierto que todos los hombres sean altos" no es lo mismo que decir "es cierto que todos los hombres no son altos". En cambio, "no es cierto que todos los hombres sean altos" equivale a decir "hay un hombre que no es alto".
De la misma manera, $\neg \exists x P(x)$ equivale a $\forall x \neg P(x)$ . Juntando todo esto, si $P(x,y)$ es una declaración sobre $x$ y $y$ entonces $$\neg \forall x \exists y P(x,y)$$ equivale a $$\exists x \forall y \neg P(x,y).$$ ¿Ves cómo terminas tu ejemplo?
Otras personas te han dicho cómo negar los cuantificadores, así que sabes que $$\neg\forall x\exists y (y > x \land x = 3y) \iff \exists x \forall y \neg (y > x \land x = 3y).$$ Así que ahora cómo se niega $(y > x \land x = 3y)$ ? Aplicando la ley de De Morgan, obtenemos $$\neg (y > x \land x = 3y) \iff \neg (y > x) \lor \neg(x = 3 y)$$ Tenga en cuenta que $a \neq b$ significa que $(a > b) \lor (a < b)$ . Así que obtenemos $$\neg (y > x) \lor \neg(x = 3y) \iff (y \leq x) \lor ((x > 3y) \lor (x < 3y)),$$ por lo que en conjunto obtenemos $$\neg \forall x \exists y (y > x \land x = 3y) \iff \exists x \forall y ((y \leq x) \lor ((x > 3y) \lor (x < 3y))).$$
Vaya, ab significa que (a>b)(a<b). Nunca lo había pensado así. Eso es realmente impresionante. Gracias. Sólo una idea, ¿cómo es que ab significa que (a>b)v(a<b) y no ab significa que (a>b)^(a<b)?
@Heelloppp Porque un número $a$ no puede ser a la vez menor y mayor que otro número $b$ . Por tanto, intuitivamente, si $a$ y $b$ no son iguales, entonces $a$ debe ser estrictamente mayor o estrictamente menor que $b$ .
No hay ningún problema en la negación de la igualdad, ya que efectivamente
$$\lnot(x=3y)\equiv x\ne3y.$$
El problema está en el uso de los cuantificadores. Como generalización de las leyes de De Morgan (véase más adelante), se tiene
$$\lnot(\forall x:P(x))\equiv \exists x:\lnot P(x),\\ \lnot(\exists x:P(x))\equiv \forall x:\lnot P(x).$$
Entonces $$\lnot(\forall x:\exists y:y>x\land x=3y)\equiv \\ \exists x:\lnot(\exists y:y>x\land x=3y)\equiv \\ \exists x:\forall y:\lnot(y>x\land x=3y)\equiv \\ \exists x:\forall y:y\le x\lor x\ne 3y.$$
$$\forall x:P(x)$$ puede verse como $$P(x_0)\land P(x_1)\land P(x_2)\land P(x_3)\cdots$$ Tomando la negación, $$\lnot P(x_0)\lor\lnot P(x_1)\lor\lnot P(x_2)\lor\lnot P(x_3)\cdots$$ que es $$\exists x:\lnot P(x).$$ (Repetir hacia atrás con $Q(x)=\lnot P(x).$ )
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Es necesario cambiar los cuantificadores al negar.
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¿Intercambiándolas de modo que para todo y exista un x? ¿Es eso lo único o debo negar el resto de la afirmación?
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No, tienes que cambiar los cuantificadores pero dejar las variables en el mismo orden. Véase mi respuesta a continuación.