Distribución de equilibrio de la urna de Ehrenfest

Question

(Voy a publicar mi propia respuesta a esto, pero otras pueden ser de interés, así que publica la tuya si tienes una). ( PS: En respuesta a los comentarios publicados más abajo: Stackexchange anima a publicar una respuesta a la propia pregunta .)

Paul y Tatiana Ehrenfest plantearon el problema de dos urnas que contienen algunas canicas. En cada paso de un proceso aleatorio, se elige una canica al azar, teniendo todas la misma probabilidad de ser elegidas. La canica elegida se traslada de la urna en la que está a la otra. El número de canicas en la primera urna es el estado de una cadena de Markov. La pregunta es: ¿cuál es la distribución de equilibrio de esta cadena de Markov? La respuesta es: es la distribución binomial del número de aciertos en $n$ ensayos con probabilidad $1/2$ de éxito en cada prueba, donde $n$ es el número de canicas en las dos urnas. Así que ahora la pregunta es: ¿cómo se demuestra eso?

Answer 1

Mi forma preferida de responder a esto es considerar la cadena de Markov relacionada, cuyo estado en cualquier momento no es el número pero el set de canicas en la primera urna. Por simetría, se demuestra que en el equilibrio, todos los subconjuntos del conjunto de canicas son igualmente probables.

Por lo tanto, la probabilidad de que el conjunto tenga $k$ de la $n$ canicas es el número de subconjuntos de tamaño $k$ dividido por el número entero de subconjuntos del conjunto de $n$ canicas.

Answer 2

Consideremos la cadena de Markov en tiempo continuo sobre el cubo discreto $\{0,1\}^n$ de manera que cada coordenada cambie independientemente de las demás a un ritmo $1$ . Las coordenadas son cadenas de Markov independientes en $\{0,1\}$ y cada una converge en su distribución a la distribución uniforme en $\{0,1\}$ por lo que la cadena de Markov en $\{0,1\}^n$ converge en su distribución a la distribución uniforme en $\{0,1\}^n$ en particular, el proceso del número de unos, conocido como la cadena de Ehrenfest, converge en la distribución a la suma de $n$ variables aleatorias uniformes independientes de Bernoulli, que sigue la distribución binomial $\left(n,\frac12\right)$ , QED.

El argumento muestra que la cadena de Ehrenfest requiere como máximo $n\log n$ pasos para converger a la distribución uniforme, en variación total, partiendo de cualquier distribución inicial.