intrínseca de la prueba de que el grassmannian es un colector de

Question

Yo estaba tratando de demostrar que la grassmannian es un colector sin escoger bases, es eso posible?

He aquí lo tengo, vamos a empezar desde proyectiva del espacio. Tome $V$ un espacio vectorial de dimensión n y $P(V)$ su espacio proyectivo. Para imitar el estándar abierto de conjuntos cuando usted tiene una base, considere la posibilidad de un hyperplane $H$. Podemos formar un (candidato abierto) subconjunto $U_H$ que conste de las líneas de $L \in P(V)$ tal que $L \oplus H = V$.

Para el Grassmannian puede proceder de forma similar, digamos que se desea construir $Gr(d,V)$. Tomar un subespacio H de dimensión $c = n - d$, y considerar el conjunto $U_H$ de los subespacios $W \in Gr(d,V)$ tal que $W \oplus H = V$.

No estoy realmente seguro de cómo proceder después de esto. Cualquier sugerencias? el principal problema es que el $U_H$ debe ser isomorfo a afín en el espacio, pero me parece que no puede cocinar el candidato natural para él.

Answer 1

deje $n=dim V$.

Deje $A$ $(n-d)$- dimensiones subespacio de $V$ y deje $\mathcal U(A)$ ser el subconjunto de la Grassmanian de todos los subespacios $B$ de la dimensión de $d$ tal que $A\oplus B=V$. Si $B$ es cualquier elemento de $\mathcal (U)$, entonces no es un bijection $\hom(A,B)\to\mathcal U(A)$ de manera tal que la imagen de un lineal mapa de $\phi:A\to B$ es el subespacio $B_\phi=\{a+\phi(a):a\in A\}$.

Entonces el conjunto de todas las $\mathcal U(A)$ con los bijections, para todos los $A$, es un atlas de las $G(d,V)$.

Usted necesita para comprobar que la transición de las funciones son lisos, sin embargo.