$p$ es primo, $a, b, c$ son números enteros, $a^2-b, b^2-c, c^2-a$ son divisibles por p, pero $a$ no lo es. Prueba, que $a^7-1$ es divisible por p.

Question

No sé por dónde empezar. Sé que $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)$ es divisible por $p$ Pero, ¿qué hacer después?

Answer 1

Aviso - ya que $p$ no divide $a$ por definición $a$ es invertible mod $p$ . $p$ divide toda la ecuación que escribiste, por lo tanto $a\equiv c^2\equiv b^4\equiv a^8\mod {p}$ . Por lo tanto, $a^8\equiv a\mod{p}$ . Multiplicando ambos lados por $a^{-1}$ obtenemos el resultado deseado de que $a^7-1\equiv 0\mod{p}$