secuencias y series - convergencia uniforme

Question

Dejemos que $f_n:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una secuencia de funciones uniformes Lipschitz, es decir, existe $K>0$ tal que $|f_n(x) - f_n(y)| \leq K|x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}.$ Demuestre que si $f_n$ converge puntualmente a $f$ entonces $f_n \longrightarrow f$ de manera uniforme.

Este es un ejercicio de Análisis Real II, creo que tengo que demostrar que se trata de una sucesión de Cauchy pero no estoy seguro.

¿Pueden darme una forma de solucionarlo?

Answer 1

Pistas:

1. Desde $f_{n}(y_{i}) \to f(y_{i})$ hay $n_{y_{i}}$ tal que $m,n > n_{y_{i}}$ implica $|f_{n}(y_{i}) - f_{m}(y_{i})| < \epsilon.$

2. Dado que cada $f_{n}$ es uniformemente continua, $|f_{n}(x) - f_{n}(y_{i})| < \epsilon$ siempre que $|x-y_{i}| < \delta$ .

3. Desde $[a,b]$ es compacto, $[a,b] \subset B_{\delta}(y_{1})\cup \cdots \cup B_{\delta}(y_{k})$ para algunos $y_{1},...,y_{k}$ .

4. Tenga en cuenta que $$|f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq |f_{n}(x) - f_{n}(y_{i})| + |f_{n}(y_{i}) - f_{m}(y_{i})| + |f_{m}(y_{i}) - f_{m}(x)| < 2\epsilon + |f_{n}(y_{i})-f_{m}(y_{i})|.$$

5. Ahora, elige algunos $N$ que funciona para todos $x$ .

Answer 2

Ok voy a probar primero que $f$ es Lipschtiz deja $x,y\in [a,b]$ entonces existe $N_1,N_2 \in \mathbb{N}$ tal que $|f_n(x)-f(x)| < \frac{\epsilon}{2}, |f_n(y)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$ para todos $n> \max\{N_1,N_2\}$ entonces $|f(x) - f(y) | = |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(y) + f_n(y) - f(y) | < \epsilon + k|x-y|$ desde $\epsilon$ es arbitrario podemos dejar que sea cero.

Dado $\epsilon>0$ dejar $m\in \mathbb{N}$ tal que $$\frac{b-a}{m} < \frac{\epsilon}{3k}$$

llame a $\frac{b-a}{m} = \delta$ donde $k$ es la constante de Lipschtiz.

Ahora dejemos que $x_1,x_2,\cdots , x_m$ sean puntos medios en los subintervalos $[a,a+\delta) , [a+\delta, a+2\delta),\cdots ,[a+(m-1)\delta, b]$ ahora para cada uno de estos $x_i$ dejar $N_i$ sea el número natural donde $$|f_n(x_i) - f(x_i) | < \frac{\epsilon}{3}, \text{ for } n > N_i$$

Dejemos que $N=\max\{N_1, N_2, \cdots , N_m\}$ . Por último, para cualquier $y\in [a,b]$ dejar $x_j$ sea el elemento medio del subintervalo donde $y$ pertenece entonces para $n>N$
$$|f_n(y) - f(y) | = |f_n(y) - f_n(x_j) + f_n(x_j) - f(x_j) + f(x_j) - f(y)|$$ $$|f_n(y) - f(y) | \leq k |y-x_j| + \frac{\epsilon}{3} + k |x_j - y|< \epsilon$$ Ahora bien, si $y$ es uno de los $x_i$ ¿cómo se puede resolver?