Demostrar que $e^{\frac{\pi}{2}i }= i$ - Problema para entender una cierta convergencia

Question

Hemos definido $e^{ix}=\cos x+ i \sin x$ donde $x\in\mathbb{R}$ .

También he demostrado antes que $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ y saber que $\sin(0)=0$

Ahora quiero demostrar que

$e^{\frac{\pi}{2}i }= i$

Sé que

$|e^{xi }|= 1,\forall_{x\in\mathbb{R}}$

Por lo tanto,

$1=|e^{\frac{\pi}{2}i}|=|\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})|=|\sin(\frac{\pi}{2})|$

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Y ahora la parte que no entiendo

Porque $\sin'(x)=\cos(x)>0,\forall_{x\in[0,\frac{\pi}{2})}$

$\Longrightarrow\sin(\frac{\pi}{2})=1$

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$\Longrightarrow e^{\frac{\pi}{2}i }= i$

Por favor, explíqueme qué teorema utilizamos aquí. Y cómo se puede generalizar esta situación, para que si me encuentro con algo similar sepa directamente qué hacer

Editar:

¿Puede demostrarse constructivamente, es decir, con el teorema del valor medio, por ejemplo?

Answer 1

Usted sabe que $ \sin(x) \in \mathbb{R}$ para que $$\left\vert \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right\vert=1 \Rightarrow \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)= \pm1$$

Si $\sin'(x)=\cos(x) >0$ para todos $x \in [0,\frac{\pi}{2})$ , entonces esto significa que la función del seno crece estrictamente en $x \in [0,\frac{\pi}{2})$ . Con $\sin(0)=0$ con $\sin$ siendo una función continua, entonces la única posibilidad es $$\sin \left( \frac{\pi}{2} \right)=+1$$

Por lo tanto, $$e^{i\frac{\pi}{2}} = i$$

Editar Si quieres demostrar que $\sin'(x)=\cos(x)$ Así pues, tenga en cuenta que $$\frac{d}{dx}\left( e^{ix} \right) = ie^{ix} = i\cos(x) - sin(x)$$ Implica que $$ \cos'(x) + i\sin'(x) = -\sin(x) + i\cos(x)$$ Demostrando que $\sin'(x)=\cos(x)$

Answer 2

Esencialmente sólo tenemos que demostrar $\sin\frac\pi2>0$ . La respuesta utilizará el teorema del valor medio (MVT) como se pide en la pregunta.

La definición de $e^z,\sin z, \cos z$ implica que las funciones son continuas y diferenciables. En particular: $$ \forall z\in\mathbb C: \sin'z=\cos z.\tag1 $$

Como $\frac\pi2$ es por definición (véase la discusión en los comentarios) la raíz menos positiva de $\cos x$ y $\cos(0)=1>0$ tenemos de la continuidad de la función: $$ \forall x\in\left(0,\frac\pi2\right): \cos x>0. $$

Junto con (1) esto implica: $$ \forall x\in\left(0,\frac\pi2\right): \sin' x>0.\tag2 $$

Ahora bien, por la MVT existe un punto tal $0<c<\frac\pi2$ que $$ \sin'(c)=\frac{\sin\frac\pi2-\sin0}{\frac\pi2-0} \implies \sin\frac\pi2=\frac\pi2\sin'(c). $$ Como ambos $\sin'(c)$ y $\frac\pi2$ son positivos, obtenemos $$\sin\frac\pi2>0.$$