retroceso de un sistema local

Question

Tengo un proyectivo suave $k$ -sistema $X$ con un sistema local $F$ (gavilla localmente constante) de dimensión finita $k$ -espacios vectoriales (en topología étale). Mi pregunta es si existe un morfismo étale finito $f \colon Y \rightarrow X$ tal que el pullback de $F$ es una gavilla constante en $Y$ .

Todavía no estoy familiarizado con la teoría de los grupos fundamentales etélicos, pero si trabajamos en topología tradicional entonces hay una correspondencia entre los sistemas locales de $k$ -espacios vectoriales y $k$ -representaciones del espacio vectorial de $\pi_1(X,x)$ . Además, si $F$ corresponden a $\phi \colon \pi_1(X, x) \rightarrow V$ entonces $f^{-1}F$ corresponden a $\phi' \colon \pi_1(Y,y) \rightarrow \pi_1(X,x) \rightarrow V$ .

¿Existe una correlación similar para el grupo fundamental étale?

A partir de ahí $f^{-1}F$ es trivial si $Im(\phi')$ es trivial, es decir $Im(\pi_1(Y,y)) \subset ker(\phi)$ . En topología podemos encontrar una cubierta tal que la imagen sea exactamente $ker(\phi)$ .

¿Podemos hacer lo mismo con el grupo fundamental étale? Supongo que como estoy buscando un morfismo étale finito, necesito la condición de que $ker(\phi)$ tiene un índice finito.

Answer 1

Sí, existe esa correspondencia. Se menciona en la cohomología étale de Milne y en otros lugares. En realidad se quiere que el núcleo sea un subgrupo abierto y no sólo de índice finito, ya que sólo éstos corresponden a coberturas étale finitas

Pero la correspondencia sólo abarca las representaciones continuas, donde $k$ normalmente se da la topología discreta, así que está bien porque un estabilizador de una representación continua en un espacio discreto es abierto y porque el espacio vectorial es de dimensión finita.

La única excepción es $\ell$ -(y algunas construcciones similares con coeficientes más generales), que se definen de una forma más complicada que las simples láminas localmente constantes (como ciertos sistemas inversos de láminas hasta la equivalencia) que corresponden a representaciones de $\pi_1$ continua con respecto a la $\ell$ -topología de los radicales. En este caso no es cierto que exista un pullback etale finito que trivialice el sistema local.