¿Qué es? $\gamma$ en el qutrit?

Question

Sabemos que el qubit se define como sigue $$\lvert\psi\rangle = \alpha\lvert 0\rangle + \beta\lvert 1\rangle$$ donde $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ . También podemos reescribir el estado del qubit utilizando la trigonometría, $$\lvert\psi\rangle = \cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)\lvert 0\rangle + e^{i\phi}\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)\lvert 1\rangle$$ Así que, investigando un poco más, descubrimos el qutrit que es bastante similar: $$\lvert\psi\rangle = \alpha\lvert 0\rangle + \beta\lvert 1\rangle + \gamma\lvert 2\rangle$$ donde $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{C}$ .

Proporcionado $\alpha$ y $\beta$ siguen siendo iguales a sus respectivas funciones trigonométricas, lo que es $\gamma$ ¿Igual?

En otras palabras, ¿cómo reescribimos el estado de un qutrit?

Answer 1

En realidad, hay que retroceder un poco y entender por qué el estado del qubit puede escribirse de esa forma. Los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ necesitan satisfacer algunas restricciones:

1. Primero, $\lvert\alpha\rvert^2 + \lvert\beta\rvert^2 = 1$ (para los estados puros), lo que sugiere inmediatamente utilizar el coseno y el seno para representar las magnitudes. Con un factor de fase, cualquier $\alpha$ y $\beta$ que satisfacen este se puede escribir como $$\begin{align} \alpha &= e^{i\phi_\alpha}\cos\frac{\theta}{2} & \beta &= e^{i\phi_\beta}\sin\frac{\theta}{2} \end{align}$$
2. Entonces, el factor de fase global es físicamente irrelevante, por lo que es mejor representar todos los estados que difieren por una fase global por un representante de ese conjunto. Hay varias convenciones que puedes utilizar para elegir qué estado usar para representar el conjunto, pero la elección típica es elegir aquel en el que $\alpha$ es real. Así que se extrae y se tira una fase general de $e^{i\phi_{\alpha}}$ , dejando $$\begin{align} \alpha &= \cos\frac{\theta}{2} & \beta &= e^{i(\phi_\beta - \phi_\alpha)}\sin\frac{\theta}{2} \end{align}$$ A continuación, puede definir $\phi$ como $\phi_\beta - \phi_\alpha$ .

Con un qutrit, la primera restricción correspondiente es $\lvert\alpha\rvert^2 + \lvert\beta\rvert^2 + \lvert\gamma\rvert^2 = 1$ . Obviamente, si se utilizan las mismas expresiones trigonométricas que antes, eso no será cierto (a menos que $\gamma = 0$ ). Por tanto, las expresiones serán necesariamente diferentes. Una forma directa de parametrizar el espacio es $$\begin{align} \alpha &= e^{i\phi_\alpha}\cos\frac{\theta}{2} & \beta &= e^{i\phi_\beta}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\varphi}{2} & \gamma &= e^{i\phi_\gamma}\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\varphi}{2} \end{align}$$ y luego, de nuevo, se puede extraer una fase global y llegar a $$\begin{align} \alpha &= \cos\frac{\theta}{2} & \beta &= e^{i\phi_1}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\varphi}{2} & \gamma &= e^{i\phi_2}\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\varphi}{2} \end{align}$$ Cualquier estado (puro) de qutrit será representable (o físicamente equivalente a uno que sea representable) de esta forma. Sin embargo, no sé si es así como se hace en la práctica.

Answer 2

Una de las principales razones para parametrizar los qubits como $$\lvert\psi\rangle = \cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)\lvert 0\rangle + e^{i\phi}\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)\lvert 1\rangle$$ es que $\phi$ y $\theta$ corresponden a los ángulos de la Esfera de Bloch .

Para los qutrits, no existe ninguna representación de la esfera de Bloch; por lo tanto, aunque por supuesto sigue siendo posible encontrar parametrizaciones similares para los estados qutrit (como la que se da en la respuesta de David Z), son mucho menos significativas.