Integración diferente resultado diferentes técnicas utilizando el cambio de variable

Question

Actualmente estoy integrando $$\int \frac{1}{\sqrt{x}\cdot(4\sqrt{x}+5)}dx$$ Cuando cambio la variable en el $dx$ a $\frac{2}{\sqrt{x}}$ Puedo multiplicar la integral por $\frac{2}{2}$ (que es $1$ ) (multiplicar sólo el numerador por $2$ y dejar el $\frac{1}{2}$ fuera de la integral) de esta manera puedo utilizar la regla de la potencia para las integrales y tras la simplificación me queda $\frac{1}{x}$ ... sin embargo, las calculadoras en línea dan un resultado diferente: $$\frac{\ln(4\sqrt{x}+5)}{2}$$

Lo que hice es

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d(\frac{2}{\sqrt x})$$

Entonces, multipliqué por $\frac22$ y me sale

$$\frac12 \int \frac{2}{\sqrt x}d(\frac{2}{\sqrt x})$$

Y uso la regla del poder...

Tras la simplificación obtengo $1/x$ .

Answer 1

¿Por qué no intentas $x=t^{2}$ ? Entonces la integral se simplifica a $\int{2\over 4t+5}dt$ y es igual a ${1\over 2}{ln(t+{5\over4})}+c$ o ${1\over 2}{ln(\sqrt x+{5\over4})}+c$

Answer 2

No he entendido lo que quieres decir con cambiar en la variable $dx$ a $\frac{2}{\sqrt{x}}$ pero creo que lo que deberías haber hecho es $u = 4\sqrt{x}+5$ entonces $du = \frac{2}{\sqrt{x}}dx$ . Entonces la expresión se convierte en $$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln{u}+C = \frac{\ln(4\sqrt{x}+5)}{2}+C$$

Answer 3

Básicamente, esto es lo que debes haber hecho primero: $$I = \frac12 \int \frac {2}{\sqrt x} \times \frac {1}{4\sqrt x +5}\, dx $$

Ahora, observe como la primera derivada de $4\sqrt x +5 $ est $\frac {2}{\sqrt x}$ obtendremos: $$I = \frac12 \int \frac {\mathrm d (4\sqrt x +5)}{4\sqrt x +5} $$ Esta es una forma muy común de una integral: $$ \int \frac {1}{x}\, dx = \log x + c \tag 1 $$ Usando este resultado, obtendremos: $$I = \frac12 \ln (4\sqrt x +5) $$

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Lo que debe haber hecho es: podría haber sustituido $4\sqrt x +5 = t$ para obtener el formulario $(1) $ pero lo habrás dejado así, sin integrar.

De lo contrario, obtendrá un resultado de $\frac1 {x} $ sólo en la integración de $-\frac {1}{x^2} $ que no tiene cabida en nuestra integralidad aquí.

Answer 4

Cuando se realiza la integración por sustitución en

$$\int f(x)dx$$

Se sustituye la variable de integración $x$ con alguna función de otra variable, digamos $u$ (por ejemplo $x=g(u)$ ), con algunas condiciones sobre la función $g$ . Entonces la integral se convierte en

$$\int f(g(u)) g'(u)du$$

Por favor, escriba qué función $g$ que usaste.

Parece que estás mezclando varios conceptos, y esto hace que no quede muy claro lo que querías decir. Vuelve a la definición.

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La forma informal de hacer la sustitución es escribir $x=g(u)$ por lo que $dx=g'(u)du$ o si lo prefiere $\dfrac{dx}{du}=g'(u)$ . Entonces, en la integral original, se sustituye $dx$ con $g'(u)du$ y cualquier otra instancia de $x$ con $g(u)$ .

Llega rápidamente a un resultado, pero no me gusta mucho trabajar con $d$ sin una definición adecuada. Sin embargo, es exactamente equivalente a la manera más formal, si lo haces correctamente.