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Integrar una función de $\cos(x)$

Deseo calcular $\int_0^{2\pi} \cfrac{dx}{(1-2 t\cos x+t)^2}$ para $|t|<1$ .

Ya sé que $\int_0^{2\pi} \cfrac{dx}{1+k\cos x}=\cfrac{2\pi}{\sqrt{1-k^{2}}}$ para $|k|<1$

y que $\left|\cfrac{1}{(1-2t\cos x+t)^2}\right| \leq \left| \cfrac{1}{1+k\cos x} \right|$ .

También sé que la respuesta es $\cfrac{2\pi}{1-t^{2}}$ .

¿Cómo puedo obtener esta respuesta? ¿Existe algún teorema como la prueba de comparación de series para integrales?

¡Muchas gracias!

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Argon Puntos 12328

\begin{align*} \int_0^{2\pi} \frac{dx}{(1-2t\cos x+t)^2} &= \oint_{|z| = 1} \frac{1}{(1-2t (z+z^{-1})/2 + t)^2} \frac{dz}{iz} \\ &= -\oint_{|z| = 1}\frac{iz}{(t z^2-tz-z + t)^2}\,dz \end{align*}

$$z = \frac{t+1 \pm \sqrt{-3t^2+2t+1}}{2t}$$

Ahora con la restricción $|t|<1$ encontrar qué raíz(es) está(n) en el contorno $|z|<1$ y utilizar el teorema del residuo para evaluar la integral.

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Chris Puntos 91

Una prueba podría ser sustituyendo cos x por (e^ix+e^-ix)/2 y utilizando el teorema del residuo de Cauchy

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